中考数学压轴题专集四二次函数和其综合1

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1、中考数学压轴题专集四：二次函数及其综合11、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．xyOAB

2、DlC备用图xyOABDlCE（1）A（－1，0）过D作DH⊥x轴于H，则DH∥y轴xyOABDlCEFH∴＝＝4，即OH＝4AO＝4∴点D的横坐标为4∵点D在抛物线y＝ax2－2ax－3a上，∴D（4，5a）把A（－1，0），D（4，5a）代入y＝kx＋b，得解得∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F设E（x，ax2－2ax－3a），则F（x，ax＋a）EF＝ax2－2ax－3a－(ax＋a)＝ax2－3ax－4aS△ACE＝S△AFE－S△CFE＝(ax2－3ax－4a)(x＋1)－(ax2－3ax－4a)x＝(a

3、x2－3ax－4a)＝a(x－)2－a∴△ACE的面积的最大值为－a∵△ACE的面积的最大值为xyABDlCQPO∴－a＝，解得a＝－（3）∵y＝ax2－2ax－3a＝a(x－1)2－4a，∴抛物线的对称轴为x＝1设P（1，m）由A（－1，0）、D（4，5a）可知：①若AD是矩形的一条边，显然点P只能在直线l的下方由PQAD，可得点Q的坐标为（－4，21a）则m＝21a＋5a＝26a，∴P（1，26a）∵四边形ADPQ为矩形，∴AP＝DQ(1＋1)2＋(26a)2＝(4＋4)2＋(5a－21a)2即a2＝，∵a＜0，∴a＝－∴P1（1，－）②若AD是矩形

4、的一条对角线，显然点P只能在直线l的下方xyOABDlCPQ则线段AD的中点坐标为（，），∴Q（2，－3a）则m＝5a－(－3a)＝8a，则P（1，8a）∵四边形APDQ为矩形，∴AD＝PQ∴(4＋1)2＋(5a)2＝(2－1)2＋(8a＋3a)2即a2＝，∵a＜0，∴a＝－∴P2（1，－4）综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形点P的坐标为（1，－）或（1，－4）2、如图，抛物线y＝x2－kx经过原点，交x轴于另一点A，顶点为P，对称轴交x轴于点H，且＝．（1）求k的值；（2）点B为x轴上方对称轴上一点，连接AB并延长交y轴于Q，连接PQ

5、、PA，设点B的纵坐标为m，△APQ的面积为S，求S与m的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当S＝时，在第一象限的抛物线上取一点C，连接OC，作CD⊥OB于D，BE⊥OC交x轴于E，连接DE，若∠BEO＝∠DEA，求点C的坐标．xyOAPHQBxyOACEBD备用图xyOAEQBCDFGHM（1）∵y＝x2－kx＝(x－k)2－k2∴P（k，－k2），PH＝k2，AH＝k∵＝，∴＝∴k＝（2）∵k＝，∴P（2，－），OA＝2AH＝4∵点B的纵坐标为m，∴BP＝m＋∴S＝S△APB＋S△BPQ＝BP·AH＋BP·OH＝BP·OA＝(m＋)×4＝2m＋（3

6、）由（2）知抛物线的对称轴为x＝2∵S＝，∴2m＋＝∴m＝2，∴B（2，2）作BG⊥OE于G，则OG＝BG＝2∴∠BOE＝45°过O作OF⊥OD，交DE的延长线于F，则∠FOE＝∠BOE＝45°，∠FEO＝∠DEA＝∠BEO又OE＝OE，∴△FOE≌△BOE∴OF＝OB，∠F＝∠OBE∵BE⊥OC，∴∠DOC＋∠OBE＝90°∵CD⊥OB，∴∠DOC＋∠OCD＝90°∴∠F＝∠OCD又OD＝DO，∴Rt△ODF≌Rt△DOC∴OF＝DC，∴OB＝DC作DM⊥OA于M，CH⊥DM于H则∠ODM＝45°，∴∠CDH＝45°∴CH＝DH＝DC＝OB＝OG＝2易

7、求直线OD的解析式为y＝x设D（a，a），则C（a＋2，a－2）把C（a＋2，a－2）代入y＝x2－xa－2＝(a＋2)2－(a＋2)，解得a＝2（舍去）或a＝3∴点C的坐标为（5，1）3、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过A、C两点，与x轴交于另一点E，点P为抛物线上的一个动点．已知A（0，2）、AE⊥BE．（1）求该二次函数的表达式；（2）∠AOC的平分线交AB于D，若△ODP的面积为4，求点P的坐标；（3）过点P作直线AE的垂线，垂足为M，当∠EPM＝∠OAE时

8、，求出线段EM的长．xyOCEAB备用图xyOCEAB（1）设OE＝x∵AE⊥B