数学建模思想在三角函数中的应用

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1、数学建模思想在三角函数中的应用在三角函数一章的教学中，教师应注重数学建模思想的应用，积极采用探究教学方式，鼓励学生大胆的自主探究学习。现对于三角函数中所含有的建模思想做一下简单的总结：一、对称问题正弦函数y＝sinx与余弦函数y＝cosx 及y＝Asin（ωx＋）的对称轴方程及对称中心，由图象可知y＝sinx的对称轴方程为x=π/2±kπ（k为整数)，对称中心为（kπ，0）(k为整数)（1）。y＝cosx 对称轴方程为x=kπ(k为整数),对称中心为（π/2±kπ，0）(k为整数)（2）。在y＝Asin（ωx＋）中，令X=ωx＋。则有y＝

2、AsinX即利用整体思想，分别令自变量落在X轴和Y轴上即可求出其对称轴x=(-+kπ+π/2)/ω，对称中心是（-+kπ)/ω，0）（其中k为整数）（3）。我们把这三个结论作为基本模型，可以顺利解决三角函数中的许多对称问题。例如下面的例子：例1.函数y＝cos（2x+π/2）图象的一条对称轴方程是（）A.x=π/2B.x=π/4C.x=π/8D.x=π/6解法一：由（2）知y＝cosx的对称轴方程为x=kπ令X=2x+π/22x+π/2=kπ解得:x=kπ/2-π/4（k为整数）所以函数y＝cos（2x+π/2）的对称轴方程为：x=kπ/

3、2-π/4（k为整数）。①取k=1时，有x=π/4，对于A、C、D中的x值代入①后，没有整数与之相对应综上应选B解法二：由（3）知y＝Asin（ωx＋）的对称轴方程为：x=(-+kπ+π/2)/ω②，将ω=2，,k=1，=π/2代入②式可解得：x=π/4即：x=π/4为对称轴对于A、C、D中的x值代入②后，没有整数与之相对应。综上应选B解法三:因为：y＝cos（2x+π/2）=-sin2x③2x=π/2±kπ解得：x=π/4±kπ/2取k=0时，有x=π/4对于A、C、D中的x值代入③后，没有整数与之相对应。综上应选B。例2.函数y＝co

4、s2x+asin2x的图象关于直线x=π/8对称,那么a=()A.1B.C./2D.－1解：y＝cos2x+asin2x=√(a²+1)sin(2x+α)(其中tanα=1/a)由题意，x=π/8时，应取得最大值或最小值，故：2x+α=π/2±kπ，把x=π/8带入上式可得：α=π/4±kπ此时tanα=1/a.所以1/a=tan(kπ+π/4),a=1应选A.二、最值问题:三角函数的最值问题在历年高考中占有重要地位，它是三角函数基础知识的综合应用，往往与二次函数，三角函数的图象，函数的单调性等知识联系在一起。在求解时，一要注意三角函数式

5、的变形方向；二要注意正、余弦函数本身的有界性，还要注意灵活选用方法。在教学中应借助函数模型进行归纳与总结，以专题的形式进行教学。现对几种常见的模型总结如下：（一）形如y＝asinx+bcosx型的函数特点是:含有正余弦，并且是一次式。方法是把正余弦转化为只有一种三角函数，此类函数可化为，y＝√(a²+b²)sin(x+)其中（tan=b/a）.例1.当0

6、/4)因为0

7、+2当sin(2x+π/4)=1时即2x+π/4=π/2+2kπ时x=π/8+kπ时所以函数最大值为2+，此时x的集合为{x│x=π/8+kπ}(k为整数)。（三）、形如y=(asinx+c)/(bcosx+d)的函数特点是：分式并且分子分母都是正余弦一次式。方法是去分母或者看成两点斜率来解决。例3、求函数y=(2-sinx)/(2-cosx)的最大值和最小值解法一：去分母得sinx-ycosx=2-2y即sin(x+)=(2-2y)/√(1+y²)因为:│sin(x+)│≤1所以：│(2-2y)/√(1+y²)│≤1即3y²-8y+3≤

8、0,-1/3≤y≤3故，函数最小值为-1/3，最大值为3.解法二：表示是过（2,2）与（cosx,sinx）两点直线的斜率，（2,2）是定点，而（cosx,sinx）是单位圆上的点，数形结合，