数学思想方法在三角函数中的应用

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1、数学思想方法在三角函数中的应用四川张继海数学思想方法属于方法范畴，但更多地带有思想、观点的属性，是数学知识在更高层次上的抽象和概括．中学教学与高考考查中，常用的数学思想有：化归与转化的思想，函数与方程的思想，数形结合的思想，分类与整合的思想，特殊与一般的思想，有限与无限的思想，或然与必然的思想等．本文主要说明的是，数学思想方法在三角函数中的应用．在三角函数一章中，主要用到的数学思想方法有：1．化归与转化的思想把未知化归为已知，如用诱导公式把求任意角的三角函数值逐步化归为求锐角的三角函数值；把特殊

2、化归为一般，如把正弦函数的图象逐步化归为函数y=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，φ＞0）的简图，把已知三角函数值求特殊范围内的角逐步化归为求适合条件的所有角的集合等；等价化归，如进行三角函数式的化简、恒等变形和证明三角恒等式．2．函数与方程思想在某些等式条件中，余弦定理，特别是已知三角函数值求角时，可将其看作是关于某个元的方程（组），借助解方程（组）的思想使问题得以解决．3．数形结合的思想如将角的研究纳入直角坐标系下，利用三角函数线作正弦、余弦、正切函数的图象，利用图象求解某些三角等式

3、或不等式问题．4．分类与整合的思想如已知角a的某一三角函数值，求a的其余三角函数值或求角a时，则应分情况讨论a的范围或所在象限，用正弦定理解已知两边和一边的对角这类斜三角形问题时亦应分类讨论．例1在△ABC中，已知，，AC边上的中线BD=，求sinA的值．分析与解设E为BC的中点，连接DE，则DE∥AB，且DE=．设BE=x，在△BDE中，利用余弦定理可得：BD2=BE2+ED2－2BE·ED·cosÐBED，BECDA∴，3x2+4x－7=0，解得x=1，（舍去），故BC=2．从而，即．∵，∴

4、，．评注本题内涵丰富，结构特别，有很多（至少5种）解法，同学们不妨一试．它不仅对方程的思想、数形结合的思想有较深入的考查，而且对等价转化的思想方法也有很高的要求．例2已知锐角三角形ABC中，，．（1）求证：tanA=2tanB；（2）设AB=3，求AB边上的高．分析与解题目给出的条件是两角和与差的正弦值，用和、差角公式将其展开，得，①9．②此时有sinA，cosA，sinB，cosB四个未知数，显然不能通过两个方程求出，因此将sinAcosB，cosAsinB看成两个未知数（二元一次方程组），将

5、其整体解出，得，．由于两个等式相除可得正切与余切，tanA·cotB=2，即tanA=2tanB．（这也可从转化待定式ÜÜsinAcosB=2cosAsinB得到有效支撑）．由第（1）问的结论，能得关于tanA与tanB的一个方程tanA=2tanB．③还需要再建立一个关于tanA与tanB的方程，这个方程可由已知条件及求得，先得出，展开后，得．④解由③、④组成的方程组，可求出，．求CD时，同样需要列方程：AB=AD+DB=，由AB=3，可解得AB边上的高．评注本题是对三角恒等变形及求值问题的考

6、查，重点放在方程思想和转化思想上，其解题过程是方程思想与转化思想的最佳体现．例3已知函数y=tan（2x+j）的图象过点，则j可以是（）．A．B．C．D．分析与解∵y=tan（2x+j）过点，∴，即，，k∈Z．当k=0时，得，选A．评注将点代入后，化为已知三角函数值求角的问题，这时应通过坐标系写出满足条件的角的终边所在象限的所有角，再结合题目要求求出其解．例4已知a，b，g是成公比为2的等比数列（a∈[0，2p]），且sina，sinb，sing也成等比数列．求a，b，g的值．分析与解∵a，b，

7、g是成公比为2的等比数列，∴b=2a，g=4a．（减少变量，消元）∵sina，sinb，sing成等比数列，∴ÛÞcosa=2cos2a－1，即2cos2a－cosa－1=0，（化归为关于cosa的二次方程）解得cosa=1，或．当cosa=1时，sina=0，与等比数列的首项不为零矛盾，故cosa=1应舍去．当，a∈[0，2p]时，或．9所以，，或，，．评注本题通过将文字叙述向等式（符号）转化，使用方程思想（消元）化为关于cosa的一元二次方程，并时时注意字母取值范围，而简捷获解．例5已知6s

8、in2a+sina·cosa－2cos2a=0，，求的值．分析与解首先从已知出发，需要将二次式转化为一次式（因式分解转化），（或减少函数名种类，转化为关于tana的一元二次方程），有（3sina+2cosa）（2sina－cosa）=0，即3sina+2cosa=0或2sina－cosa=0．由已知条件可知cosa≠0，所以，即，从而tana＜0，∴．其次从待求式出发，有====．于是将tana的值代入，不难计算出的值等于，为所求．评注本题对已知和待求式一再进行等价转化，目的是沟通它们的联系，寻