习题七二次型和二次曲面

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1、习题七二次型与二次曲面1.求下列二次型的矩阵A及秩2.用正交变换法将下列二次型化为标准形，并写出所用的变换3.分别用配方法和初等变换法把下列二次型化为标准形，并写出所作的可逆线性变换4.设A是n阶反对称阵，则对任意n维列向量X都有XTAX=0。5.设A是n阶对称阵，若对任意n维列向量X都有XTAX=0，则A=0。6.设为二次型f的矩阵A的特征值，求证对任意实向量，下述不等式成立7.若二次型f的负惯性指数为0，则对任意的X，恒有。8.若二次型f的正、负惯性指数都不为0，则存在不全为零的实数使得9.判别下列二次型是否正定1.判断下列各对称矩阵是否正定2.若A是正定矩阵，则矩阵A

2、-1，A*都是正定矩阵。3.设A是n阶实对称矩阵，求证A2+A+In是正定矩阵。4.求下列二次型中的参数t，使得二次型正定5.为何值时，二次型为正定二次型。6.二次型通过正交变换化成标准形，求参数a及所用的正交变换矩阵。7.已知二次型的秩为2。（1）求参数c及f的矩阵A的特征值；（2）指出方程f=1表示何种二次曲面。8.已知二次曲面方程可以经过正交变换化为椭圆柱面方程，求a、b的值和正交矩阵P。9.设n元实二次型f=XTAX，X=(x1,x2,…,xn)T，证明f在条件x12+x22+…+xn2=1小的最大值恰为方阵A的最大特征值。1.将xOy坐标面上的双曲线分别绕x轴及y

3、轴旋转一周，求所生成的两个旋转曲面的方程。2.求母线平行于x轴且通过曲线的柱面方程。3.求球面x2+y2+z2=9与平面x+z=1的交线在xOy面上的投影的方程。4.求直线在平面上的投影直线的方程，并求绕y轴旋转一周所成曲面的方程。5.下列方程表示什么曲面6.下列方程表示什么曲线7.画出下列曲面所围成立体的图形8.用正交变换和坐标平移将下面二次曲面方程化为标准方程