典型例题分析五

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1、典型例题分析五   例1求证：存在三次多项式满足下面函数表x－2－10131y－56－16－2－24376证 由于表中给出了六个点的函数值，根据Newton插值公式，一般情况下可以构造出一个5次插值多项式，这个5次多项式必然满足上面函数表   构造差商表如下xy一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商－2－56    －1－1640   0－214－13  1－20－72 3431207376931520   由上表知，由于四阶差商以上均为0，所以这个5次多项式实际上是3次多项式故存在三次多项式满足是所给的函数表。   一般情况下，给定n+1个节点，可构造一个n次插值多项式，若得到低于n

2、次的插值多项式，称为“退化”情况，利用Newton插值，很容易检查出是否为“退化”情况，因为利用差商（差分）表，当某一阶差商（差分）为常数时，则下一阶差商（差商）必定为0，此时必会出现“退化”情况。   例2 Runge现象的发生和防止   对区间作等距划分：，，分别取以为节点对函数按下述方案进行插值计算，并比较其结果   方案I 拉格朗日插值；   方案II 分段线性插值；   方案III 三次样条插值。   解 这里只将求解后的部分数值结果列于表1中。由此可以看到，拉格朗日插值的效果并没有随n增大而变化，与此相反，在区间端点附近，反而发生了激烈的振荡，即出现了龙格现象。而分段

3、线性插值、三次样条插值都能较好地逼近，且随着n的增大，逼近效果更好，反映了分段线性插值和三次样条插值的一致收敛性，防止了龙格现象的产生，从表中数据可以看到，三次样条插值的精度比分段线性插值更高。表1Xf(x)拉格朗日插值分段线性插值三次样条插值n=10n=20n=10n=20n=10n=200.150.640000.678990.636760.625000.650000.657470.643170.250.390240.342640.395090.425000.403850.380490.389420.350.246150.190580.238450.275000.253850.

4、240550.246270.450.164940.234970.179760.175000.168970.167230.164860.550.116780.215590.080660.125000.118970.117840.116790.650.08648－0.072600.202420.089710.087740.085890.086480.750.06639－0.23146－0.447050.069120.067150.066020.066390.850.052450.719463.454970.053730.052940.052600.052460.950.042440.

5、92362－39.952580.043550.042760.042480.04244   例3 反插值   给出函数的函数表（表2），试利用此数表求使的x值。   表2X2.22.42.62.83.0Y4.4575.4666.6958.19810.018   解 插值是利用函数的已知数据求给定的自变量x所对应的函数y的近似值。而本题则是求已知函数值y所对应的自变量x之值。如果函数的反函数存在，则可把所给数据值y视为自变量取值，而把x的值视为函数值，对反函数进行插值，即可求得欲求的x，这样的问题称为反插值。   由于为单增函数，所以其反函数存在，现用牛顿插值法求解该问题。首先构造反

6、函数的差商表3。   表3yi一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商4.4572.2    5.4662.40.19822   6.6952.60.17873－0.01586  8.1982.80.16038－0.013850.00134 10.0183.00.14386－0.011940.00118－0.00009根据差商表可得的牛顿插值多项式                从而可得所以应的值为                              反插值法还可用于方程的近似求根。对函数进行反插值，求所对应的值，即为方程的近似根。   例4 插值法的事后误差估计   已知，试用线

7、性插值求的近似值，并估计插值误差。   解 要用线性插值求在点的值，可取为插值节点，记线性插值式为。经计算易得                                         但是，由于不知道的解析式，故不能直接利用拉格朗日余项式做误差估计。为此，下面用另外一种方法来估计误差。设以为节点的线性插值式为，则有                                                                       其中均属于由和所决