注册岩土考试基础数学5

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1、第五讲  重积分、平面曲线积分以及积分的应用      一、内容提要：本讲主要是讲解二、三重积分的概念、性质与计算，平面曲线积分的概念、性质与计算以及定积分的应用、二重积分的应用问题。二、重点：本讲的重点是二重积分的计算，平面曲线积分，定积分的应用问题。        难点：本讲的难点是三重积分的计算，三重积分的应用问题。三、内容讲解：1、重积分： 1、1二重积分的概念：设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成n 个小闭区域， 其中 表示第I个小闭区域，也表示它的面积，在每个 上任

2、取一点（ξi,ηi），作乘积f（ξi,ηi） （i=1,2,…，n），并作和如果当各小闭区域的直径中最大值λ趋于零时，这和的极限存在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记作,其中f(x,y)叫做被积函数叫做被积表达式，叫做面积元素，x与y叫做积分变量，D叫做积分区域，叫做积分和。在直角坐标系中，有时也把面积元素记作dxdy，而把二重积分记作，其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素。二重积分的几何意义：二重积分 在几何上表示以曲面z=f(x,y)为顶，闭区域D为底的曲顶柱体的体积。至于

3、三重积分的概念，我们就不再说了，自已看一下。下面我们讲一下重积分的性质。     三重积分的的概念：设f(x,y,z)是空间有界闭区域Ω上的有界函数，将Ω任意分成n个小闭区域， 其中 表示第I个小闭区域，也表示它的体积，在每个 上任取一点（ξi,ηi,ζi），作乘积f（ξi,ηi,ζi） （i=1,2,…，n）,并作和，如果当各小闭区域直径中的最大值λ趋于零时，这和的极限存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在闭区域Ω上的三重积分，记作,即= ，其中dv叫做体积元素。三重积分的几何意义表示物体质量M的

4、近似值。1.    2重积分的性质： 性质1、被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即（k为常数）性质2、函数的和(或差)的二重积分等于各个函数的二重积分的和（或差），即性质3、如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和，即性质4、如果在D上，f(x,y)=1，σ为D的面积，则σ=性质5、如果在D上，f(x,y)≤ （x,y），则有不等式，特殊地，由于-

5、f(x,y)

6、 ≤f(x,y) ≤

7、f(x,y)

8、，又有不等式性质6、设M,m分别是f

9、(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，σ为D的面积，则有 mσ≤≤Mσ 性质7、（二重积分的中值定理）设函数f(x,y)在闭区域D上连续，σ为D的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η）使得下式成立：1.    3二重积分的计算：按照二重积分的定义来计算二重积分，对少数特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的，但对于一般的函数和区域来说，这不是一种切实可行的方法，现在我们来讲两种计算二重积分的方法。（1）    利用直角坐标计算二重积分： 设积分区域D可以用不等式 ≤y≤ ,a≤x≤b来表示，则这个先对

10、y后对x的二次积分也常记作类似地，如果积分区域D可以用不等式 ≤y≤ ，c≤y≤d来表示，其中函数 、 在区产[c,d]上连续，则有上式右端的积分叫做先对x、后对y的二次积分，这个积分也记作(2)    利用极坐标计算二重积分： 直角坐标与极坐标的关系是x=rcosθ，y=rsinθ（0≤r≤+∞, 0≤θ≤2л） 设D={（r, θ）

11、 ≤r≤ ,α≤θ≤β}则 =特别（i）D={（r, θ）

12、0≤r≤ ,α≤θ≤β}则有=（ii）D由闭曲线r=r(θ)所围成，则=例3、    计算 其中D是由中心

13、在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域。解：在极坐标系中，闭区域D可表示为0≤r≤a，0≤θ≤2π，由公式可得，=1.    4三重积分的计算： （1）    用直角坐标来计算：设 ={(x,y,z)

14、z1(x,y)≤z≤z2(x,y),(x,y)∈D}且D={(x,y)

15、  ≤y≤ ,a≤x≤b}则例4、    计算：I= ，其中 是由z=0,y+z=1,y=x2所围成的区域。解： ={（x,y,z）

16、0≤z≤1-y,(x,y)∈D,}其中D={(x,y)

17、x2≤y≤1,-1≤x≤1}I=（2）   

18、 利用柱面坐标计算三重积分：直角坐标系与柱面坐标的关系是：x=rcosθ,y=rsinθ,z=z（0≤r≤+∞, 0≤θ≤2л,-∞≤z≤+∞）设 ={(r, θ,z)

19、   (r, θ) ≤z≤  (r, θ), (r, θ) ∈D},其中D={( r, θ)

20、r1(θ)≤r,≤r2(θ),α≤θ≤β}则例5、    利用柱面坐标计算：I=其中 是由z=-1,z=1 ,x2+y2-z2=1所围成的区域。解：-1≤z≤1，0≤r≤ ,0≤θ≤2л则I=（