注册岩土考试基础数学.doc

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1、第八讲 概率与数理统计          一、内容提要：本讲主要是讲解随机事件与概率，古典概率，一维随机变量的分布和数字特征，数理统计的基本概念，参数估计，假设检验，方差分析，回归分析。二、本讲的重点是：随机事件的关系，二项概率公式，条件概率，分布函数的性质，连续型随机变量的密度函数、分布函数，正态分布，常用随机变量的分布和数字特征。本讲的难点是：数理统计方面的参数估计，假设检验，方差分析，回归分析。       三、内容讲解：1、  随机事件与概率：（1)随机事件的关系与运算：包含：若事件A发生，一定导致

2、事件B发生，那么称事件B包含事件A，记作AB;相等：若两事件A与B相互相互包含，即AB且BA，那么称事件A与B相等，记作A=B和事件：称“事件A与事件B中至少有一个发生”的事件为A与B的和事件，记为A∪B积事件：称“事件A与事件B同时发生”的事件为A与B的积事件，记为A∩B简记为AB互不相容：若事件A与事件B不能同时发生，则称A与B互不相容，记作AB=差事件：称“事件A发生且事件B不发生”的事件为A与B的差，记作A-B对立事件：若事件A与B满足A∪B=  ( 为必然事件)，同时AB=，称A与B是对立的，记B

3、=交换律：对任意两事件A和B有A∪B=B∪A，AB=BA，结合律：对任意事件A、B、C有A∪（B∪C）=（A∪B）∪C，A∩（B∩C）=（A∩B）∩C分配律：对任意事件A、B、C有A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C），A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C） (2)概率的公理化定义：设试验的样本空间为，随机事件A为的子集，P（A）为实值函数，若满足下列三条公理：公理1、对于任一随机事件A，有0≤P（A）≤1，公理2、P（）=1，P（）=0公理3、对于一系列互不相容的事件A1，A2，…An…有P（A1+A2+

4、…）=P（A1）+P（A2）+…则称函数P（A）为随机事件的概率。概率的性质：（i）P（）=1-P（A）（ii）(ii)当AB时，有P（B-A）=P（B）-P（A）（iii）当A1，A2，…An互不相容时，有P（A1+A2+…）=P（A1）+P（A2）+…P（An）（iv）P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）(2)条件概率与相互独立性：条件概率：如果A、B是随机试验的两个事件，且P（B）>0，则称事件B发生的条件下事件A的概率为事件B发生条件下事件A发生的条件概率，记作P（A

5、B）条件概率可以通过下

6、列公式计算：（P（B）>0）乘法定理：两事件的积事件的概率等于其中一事件的概率与另一事件在前一事件出现下的条件概率的乘积：P（AB）=P（A）P（B

7、A）（P（A）>0）P（AB）=P（B）P（A

8、B）（P（B）>0） 全概率公式：设事件A1，A2，…An两两相斥，且事件B为事件A1+A2+…+An的子事件，A1+A2+…+An=，且P（Ai）>0，则对任一事件B有P（B）=P（A1）P（B

9、A1）+P（A2）P（B

10、A2）+…+P（An）P（B

11、An）这个公式称为全概率公式，贝叶斯公式事件的相互独立性：若

12、P（AB）=P（A）P（B），则称A、B相互独立。当P（A）、P（B）都不为零时，从事件A、B相互独立能推得（B

13、A）=P（B）或P（A

14、B）=P（A）定理：若四对事件A、B；A、；、B；、中有一对相互独立，则另外三对也是相互独立的。（4）重复独立试验、二项概率公式：重复独立试验：做几个试验，它们是完全同样一个试验的重复，且它们是相互独立的，即相应于每一次试验的随机事件的概率都不依赖于其它各次试验的结果，称这类试验是重复独立试验。二项概率公式：设每个试验中事件A出现的概率为p，则n次重复独立试验中事件A恰好

15、出现k次的概率(k=0,1,2,…,n)此公式称为二项概率公式。例1、      某人投篮，每次命中率为0.7，至少命中4次的概率是多少？ 解：利用二项公式得：因为有“至少”二字，所以k可为4或5所以至少命中4次的概率为：0.36+0.17=0.53例1、有三批同一规格的产品存放在一起，各批产品分别占存时的40%、35%、25%，而次品率分别为2%、1%、3%，若从这堆存品中随机地抽取一个产品，则它是次品的概率为多少。解：利用全概率公式得：P（B）=P（A1）P（B

16、A1）+P（A2）P（B

17、A2）+P（A

18、3）P（B

19、A3）=0.4×0.02+0.35×0.01+0.25×0.03=0.019例2、两个小组生产同样的零件，第一组的废品率为2%，第二组产品为第一组的2倍，而废品率为3%，若两组生产的零件放在一起，从中任选一件，经检查是废品，则这件废品是第一组生产的概率为多少。解：由全概率公式可得：2、古典概型：具备下面两个特点的随机试验的数学模型称为古典概型：（1）可能的试验结果的个数是有限的，记为n个；（2）两两互