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1、北京大学2006年数学分析考研试题一确界存在原理是关于实数域完备性的一种描述，试给出一个描述实数域完备性的其它定理，并证明其与确界存在原理的等价性。二设函数，求在处二阶带Peano余项的Taylor展开；问在上哪些关于极值的判别点，这些点是否为极值点，说明理由。三设，（1）证明方程在上确定唯一的隐函数；（2）求的极值点。四计算第二型曲面积分，其中曲面是椭球面外侧。五证明广义积分收敛，并计算此积分。六设是定义在上，固定时，对连续，设取定，对于任意，极限收敛。证明：二重极限对任意，极限在上一致收敛。七若函数在区间上有界，给出证明在上和的极限收敛的Cauchy准则。八设是上一致连续函数列，满足存
2、在常数，使得对于任意和，恒有，假定对中任意区间都有，证明：对任意区间以及上绝对可积函数，恒有。20currencydeposit,weprescribeapassonaregularbasis,qilucardaccountonaregularbasis),certificatebondsandsavingsbonds(electronic);3.notdrawnonabanksavingscertificate,certificatebondsapplyformortgageloans,acceptingonlythelender九设存在一区间使得两个Fourier级数和都在上收敛，并且
3、其和函数在上连续且相等，问对于任意自然数，是否成立？如成立，请证明；如不成立，加上什么条件后能保证成立，说明理由。十设在上内闭可积，证明：广义积分绝对可积的充分必要条件是：对于任意满足的单调递增序列，级数绝对收敛。北京大学2006年数学分析考研试题解答一、书上有。二、解，，，，，，，，，，，20currencydeposit,weprescribeapassonaregularbasis,qilucardaccountonaregularbasis),certificatebondsandsavingsbonds(electronic);3.notdrawnonabanksavingsce
4、rtificate,certificatebondsapplyformortgageloans,acceptingonlythelender解之得：或，得驻点，，在点，，，，，不为极值点，在点，，，，，，所以在处取得极大值。三、证明（1）显然当时，满足方程，对每一，是关于的三次多项式，必有实根，存在，满足20currencydeposit,weprescribeapassonaregularbasis,qilucardaccountonaregularbasis),certificatebondsandsavingsbonds(electronic);3.notdrawnonabanksa
5、vingscertificate,certificatebondsapplyformortgageloans,acceptingonlythelender，又，于是关于是严格单调递增的，所以存在唯一的，使得，，即方程在上确定唯一的隐函数；（2）当时，，，在内无极值点，当时，，，在内无极值点，由，可知在处达到极大值，所以的极大值点为。四、解由高斯公式，得。五、证明由，由Dirichlet判别法，可知收敛，显然收敛，20currencydeposit,weprescribeapassonaregularbasis,qilucardaccountonaregularbasis),certific
6、atebondsandsavingsbonds(electronic);3.notdrawnonabanksavingscertificate,certificatebondsapplyformortgageloans,acceptingonlythelender所以收敛，对，考虑，由Abel判别法，可知此积分关于一致收敛，所以在上连续。对，，，关于一致收敛，积分可以交换次序，于是，故。六、证明充分性设极限在上一致收敛，由及题设条件知，在处连续，由，即得二重极限；必要性对每一，由，，存在，当，20currencydeposit,weprescribeapassonaregularbasis
7、,qilucardaccountonaregularbasis),certificatebondsandsavingsbonds(electronic);3.notdrawnonabanksavingscertificate,certificatebondsapplyformortgageloans,acceptingonlythelender，，有，在上式中，固定，让取极限，则得，，显然覆盖了，利用有限覆盖定理，可得，
