北京大学2014数学分析.pdf

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1、北京大学2014年硕士研究生入学考试试题数学分析（答案详解）新浪微博@为了数学豁出命一、叙述实数列x的Cauchy收敛原理，并用Bolzano-Weierstrass定理证明之.n叙述并证明：Cauchy收敛原理：数列x收敛0，N，mn,N，成立xx.nmn必要性：数列x收敛，设limxA，那么N，当nN时，xA，即nnnn2数列有界，同理N，当mN时，xA，故mn,N，成立m2xxxAxA.mnmn22充分性：由和mn,的任意性，固定1，mN1，那么就有

2、nN，xx1nN1即x11xx，N11nN取Mmaxxx,,,xx,,x1，则xM，即x有界.12NN1N1nn根据Bolzano-Weierstrass定理，xn必有收敛子列，设xn为xn的收敛子列，有klimxA，根据Cauchy收敛原理，有0，knN，成立xA，nnkkk那么xAxxxA2，nnnnkk即limxA，则数列x收敛.nnn二、设数列x满足nx1，xx43n1,2,，1nn1证明x收敛，并求其极限.n证明并解答：用数学归纳法

3、证明14x，下面对n做数学归纳法：n当n1时，x1成立；假设对n成立，那么对n1有1xxnn+1437,41,4也成立，故14x.n43xxnn又有xx43xx，由于43xx0，n+1nnn2nn43xxnn2325243xxnnxn0，故xxnn+10，即数列xn单调递增.24则数列单调递增有上界，即数列收敛，设数列收敛到A，则AA43，即A4或A1（舍去），故limx4.nn2222三、计算xydxdydz，其中是曲面zxy与z

4、1围成的有界区域.解答：xrcosxyz,,作代换yrsin，则Jacobi行列式为r，那么rz,,zz121222xydxdydzrdzddr.r00623nx四、证明函数项级数xe在0,+上一致收敛.n1证明：3nx224nx23令fxxe，则fx32xnxe，令导函数为0，x，则02n函数fx在0,3单调递增，在3,单调递减，故函数有最大值2n2n331fxfx

5、e2，max023n2333nx2312312那么xee3，由于数项级数e3收敛，根据Weierstrass判别法知2n12n2n223nx函数项级数xe在0,+上一致收敛.n1五、讨论级数在lncos敛散性.n3n证明：lncosnlncosxxsin1由limlimlim，知正项级数lncosnxx2200x2cosxx2nn3n22与2同敛散，由于2收敛，故lncos收敛，那么

6、级数lncos绝对收n3nn3nn3nn3n敛.nn六、设函数f:在/0可微，在0连续，且fxlim0，in1,2,,.x0xi证明f在0可微.证明：根据Language中值定理有ffx0fx12,,,xxfxxnn0,,,2fxxf0,2,,nn0,0,,xf0,0,,xfn0,0,,0nfiix，i1xi又根据题意fxlim0，in1,2,,，x0xi那么nfiixffx0xi1ilimlim0，xx

7、00xx故f在0可微.七、设fx，gx是0,1上的连续函数，且maxfxmaxgx，证明：存在x0,1，xx0,10,10使得fx00gxe33fxegx.00证明：设xx,0,1，使得fxmaxfxmaxgxgx.1212xx0,10,1若xx，那么取xxx，fxgx，即有1201200fx00gxe33fxegx.00若xx，不妨设xx，