习题五欧氏空间

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1、习题五欧氏空间1.已知的对角线为。2.设是任意三点，求。3.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试应用向量证明它是平行四边形。4.用几何作图证明5.已知。6.已知点A（3，5，7）和点B（0，3，-4），求向量并求A关于B的对称点C的坐标。7.设向量的长度是5，与轴u的夹角是，求在轴u上的投影。8.已知，试证(1)的充要条件是共面。9.设是三个向量，k、l是两个实数，试证10.已知为单位向量，且满足，计算。11.已知。1.已知，试利用行列式的性质证明2.已知空间三点A（1，0，-1），B（1，-2，0），C（1，1，1）

2、。（1）求以OA、OB为邻边的平行四边形的面积；（2）求以O、A、B、C为顶点的四面体的体积。3.判断是否共面4.AD是BC边上的高，求点D对坐标系的坐标。5.在四面体OABC中，M是的重心，E、F分别是AB、AC的中心，求向量在坐标系下的坐标。6.如，证明。7.如，证明共线。8.已知向量，求单位向量，使，且共面。9.已知，且的长度相等，两两夹角也相等，试求。10.已知。11.求下列各平面的参数方程及一般方程：a)经过点A（1，2，3）且平行于向量v1=(1,-2,1),v2=(0,1,2);b)经过点A（1，1，2）、B

3、=(3,-2,0)、C=(10,5,-5)三点;a)经过点A（1，2，-1）z轴;b)经过点A（4，0，-2）、B=(5,1,7)，且平行于z轴。2.已知两个平面x-2y+3z+D=0,-2x+4y+Cz+5=0问C、D为何值时，两平面平行？何时重合？3.求下列直线的参数方程及标准方程：a)平行于且经过点P（1，0，-2）；b)平行于x轴且经过点P（-2，-3，1）；c)经过A（1，0，-1）、B（1，1，3）两点；d)经过点A（2，3，-5）且与直线平行。4.把直线方程化为标准方程5.判断直线与平面的位置关系，若有交点就

4、求出交点坐标6.如直线与z轴相交，求D值。7.证明下面两条直线共面，并求它们所在平面的方程。8.求平面的法向量和点法式方程（1）3x-2y+5z-1=0(2)x-y=0(3)4x-3z+2=01.求点M（4，-3，1）在平面x+2y-z-3=0上的投影。31.讨论下列各直线的位置关系，若这两条直线共面，求该平面方程。32.已知三个平面的方程分别为问取何值时：（1）三平面交于一点；（2）三平面无公共交点；（3）三平面相交于一条直线，并求此直线方程。33.已知二直线问L1与L2是否共面：是否相交,若相交，求其交点。34.已知平

5、面求之间的夹角。35.设二直线36.已知平面37.已知平面，求过的交线且与平面垂直的平面的方程。38.判断直线与平面的位置关系：39.求点（-2，2，0）在平面x+2y-z+1=0上的投影的坐标。40.求点A（2，4，3）在直线x=y=z上投影点的坐标及点A到该直线的距离。41.求直线在平面4x-y+z=1上的投影直线的方程。42.求过点M（-4，-5，3），且与直线和直线都相交的直线方程。43.一平面垂直于平面z=0,并通过由点M0（1，-1，1）到直线的垂直，求平面的方程。44.已知a)求的长度及彼此间的夹角；b)求与

6、都正交的向量。45.如都正交，证明的任一线性组合也正交。46.验证下列向量是正交的，并添加向量使之成为标准正交基：（1）（2，1，2）T，（1，2，-2）T；（2）（1，1，1，2）T，（1，2，3，-3）T。47．已知为R3的一个标准正交基，求与的内积。48．将向量组标准正交化。49．设A、B都是n阶正交阵，试证：（1）A-1是正交阵；（2）AB是正交阵。50.证明n阶主对角线元素为正数的上三角正交矩阵是单位矩阵。51.已知为正交阵，求a、b、c、d、e的值。52.写出所有3阶正交矩阵，它的元素是0或1。53.如果一个正

7、交阵中每个元素都是1/4或-1/4，这个正交阵是几阶的？54.有两个原点相同的坐标系，其中依次是由为边的平行四边形对角线向量（以O为起点），求点的坐标变换公式。