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时间：2018-11-30
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1、第一节n维欧氏空间第二章点集主讲：胡努春⒈度量空间定义：设X为一非空集合，d:X×X→R为一映射，且满足⑴d(x,y)≥0，d(x,y)=0当且仅当x=y（正定性）⑵d(x,y)=d(y,x)（对称性）则称(X,d)为度量空间.⑶d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)（三角不等式）例：⑶C[a,b]空间(C[a,b]表示闭区间[a,b]上实值连续函数全体),其中⑴欧氏空间（Rn,d）,其中⑵离散空间(X,d)，其中⒉欧氏空间中各类点的定义接触点、聚点不一定属于E孤立点一定属于E点P0的δ邻域：P0为E的接触点：P0为E的聚点：
2、P0为E的孤立点：记为E的闭包（接触点全体）记为E的导集（聚点全体）欧氏空间中各类点的定义边界点不一定属于E内点一定属于EP0为Ec的内点:P0为E的内点：P0为E的外点：P0为E的边界点：记 为E的内部（内点全体）记为E的边界（边界点全体）注：接触点、聚点、边界点不一定属于E，内点、孤立点一定属于E。例（1）令E=Q，则（2）令E={1,1/2,1/3,…，1/k,…},则对一切1/k(k=1,2,3,…)均为E的孤立点。接触点、聚点表示它与集合紧挨内点表示它周围的点都在集合内由定义可知外点、接触点、内点的关系P0为E的接触点
3、：P0为E的内点：P0为E的外点：例设p0是E的聚点,证明p0的任意邻域内至少含有无穷多属于E而异于p0的点.这与（*）矛盾，所以为无限集。证明：由条件知P0δPn例E中的孤立点集或为有限集或为可数集。这与（*）式矛盾，所以 是一簇两两不交的开区间，从而A至多可数。证明：设A为孤立点集，，由孤立点的定义知⒊聚点的等价描述证明：显然，下证定理：下列条件等价：(1)p0为E的聚点(3)存在E中互异的点所成点列{pn},使得P0δPn定义：称点列{pn}收敛于p0,记为：(2)点p0的任意邻域内，含有无穷多个属于E而异于p
4、0的点设p0是E的聚点，证明存在E中的互异的点所成的点列{pn}使则上述取出的点列Pn是互异点列,且证明：由聚点的定义知保证收敛保证点列互异P0为E的接触点：P0为E的聚点：注：聚点的等价条件的证明中，1/n是为了保证收敛，而d(pn-1,p0)是为了保证点列两两互异，但证明接触点时，无法保证d(pn-1,p0)不为0，所以不能保证点列两两互异。p0是E的聚点的充要条件为存在E中的互异的点所成的点列{pn},使得P0δPnp0为E的接触点的充要条件为存在E中点列{pn},使得
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