第7讲 基本不等式及其应用

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1、第7讲基本不等式及其应用[知识梳理]1常用基本不等式（1）a2≥0，a∈R（2）a2+b2≥2ab（a,b∈R，当且仅当a=b时等号成立）（3）a+b≥2（a,b∈R+，当且仅当a=b时等号成立）≥2（ab>0，当且仅当a=b时等号成立）≤-2（ab<0，当且仅当a=b时等号成立）（4）a3+b3+c3≥3abc（a,b,c∈R+，当且仅当a=b=c时等号成立）a+b+c≥3（a,b,c∈R+，当且仅当a=b=c时等号成立）推广：如果，那么。（当且仅当时取“=”）。即个数的算术平均数不小于他们的几何平均数。2．基本不等式的应用主要关注与的应用：用比较法证明不等式；求最大（

2、最小）值；解决一些实际问题。[例题点拨][例1]求下列代数式的最值：（1）已知，求的最小值；（2）已知，求的最大值（3）已知，求的最小值（4）已知，求的最小值11/11[思路分析]利用“积为定值，和有最小值”来求解。[解]（1），当且仅当时，等号成立。因此的最小值为5；（2）因为所以，即的最大值为1，当且仅当时，等号成立；（3），，。当且仅当时，等号成立，所以的最小值为；（4），=。当且仅当时，等号成立，所以的最小值24。[点评]应用基本不等式求最值时，应该注意：（1）变量必须为正。（2）当它们的积为定值时，其和取得最小值；当它们的和为定值时，其积取得最大值。（3）当且仅

3、当两个数相等时取得最值。即必须满足“正数”、“定值”、“相等”三个条件才能取得最值。在求某些最值时，要注意恰当的恒等变形，分析变量，合理配置系数。[例2]求下列代数式的最值：（1）11/11（2）且，求的最大值。[思路分析]利用“和为定值，积有最小值”来求解。[解]（1）。当且仅当时，等号成立，所以为。（2）且，。当且仅当时，等号成立，所以的最大值。[点评]解答此类题目关键是合理、恰当的等价变形，利用基本不等式即可。[例3]已知恒成立，求的最大值。[思路分析]利用即可求解。[解]令，于是，因为所以。当且仅当即时，取得最大值。[点评]解最大值、最小值问题方法很多，基本不等式

4、是重要的方法之一，要灵活应用及其变形。11/11[例4]已知，且，求的最小值。甲、乙、丙三位同学分别给出了如下三种解法，试判断他们的解法是否正确。为什么？若解法错误，请给出正确解法。甲:,的最小值为。乙：的最小值为。丙：，当且仅当时取等号，于是的最小值为。[辨析与解]甲中，因为等号成立的条件是和同时成立，这是不可能的。所以此解法错误。乙中，因为等号成立的条件是和同时成立，，此时，显然不符合所以此解法错误。丙中，不是定值，所以此解法也是错误的。正确解法：，当且仅当又，即时，取等号。的最小值为。11/11当然，也可以由代人再解。[点评]一定要注意“一正、二定、三等”。若多次运

5、用基本不等式，要看每次取等号的条件是否一致。[例5]若，求的最小值。[思路分析]显然不好直接用基本不等式，要想办法构造“积”为定值。注意到中，以此为突破口。[解法1]。当且仅当且，即时，取等号，所以的最小值为16。[解法2]。当且仅当且，即时，取等号，所以的最小值为16。[点评]解法1、2中，都连续用到两次基本不等式，此时要注意两次等号成立的条件是否一致[例6]已知,且,求证：（1）；（2）.[思路分析]几个正数的和为1，常常出现在题设中，要注意“1”变换。[证明]（1）11/11；当且仅当时，取等号。（2）证法1：因为,且，所以所以。证法2：要证，即证，即证即证，此式显

6、然成立。且上述步骤步步可逆，所以原不等式成立。证法3：因为,且，可设，，，其中，于是，当且仅当，即时等号成立。[点评]证明不等式的方法很多，下一节将单独介绍。这里的证法3是“均值代换”。一般的，若，那么，可设，，，于是可得。[例7]：某单位决定投资32000元建一长方体状仓库（高度恒定），它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价为400元，两侧墙砌砖，每米长造价450元，顶部每平方米造价200元，试求：仓库底部面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？［思路分析］：弄清题意，恰当设置变量，建立数量关系。设铁栅长a米，

7、一堵砖墙长b米，底面积S，则S=ab。由题意400a+2×450b+200ab=32000于是：32000=400a+2×450b+200ab≥200ab+211/11=200ab+1200=200S+1200即：S+6－160≤0≤0≤10故S的最大允许值是100平方米。此时，400a=900b4a=9b=9·a=15米。即铁栅的长应是15米。点评：1.本题是基本不等式与解不等式综合的一道应用题，不但考查了基本不等式、一元二次不等式的解，还考查了基本不等式等号成立的条件。2.解不等式应用题时，先要弄清题意、合理设置变量，建立