第3讲不等式及其应用

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1、第3讲　不等式及其应用1.理解并掌握不等式的基本性质及解法．2.掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并能灵活运用其解决问题．1.已知集合A＝，集合B＝{x

2、y＝lg(x2＋x－2)}，则A∩B＝________．2.设0

3、例1设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c∈R)．(1)已知f(1)＝－，①若f(x)<1的解集为(0，3)，求f(x)的表达式；②若a>0，求证：函数f(x)在区间(0，2)内至少有一个零点．(2)已知a＝1，若x1、x2是方程f(x)＝0的两个根，且x1、x2∈(m，m＋1)，其中m∈R，求f(m)f(m＋1)的最大值．已知f(x)＝x2－x＋k，k∈Z，若方程f(x)＝2在上有两个不相等的实数根．(1)确定k的值；(2)求的最小值及对应的x值．题型二含参数的不等式的解集问题例2已知函数f(x)＝(x≠0，a>0)，当x∈[1，3]时的取值范围

4、恰为.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若向量m＝，n＝(k2＋k＋2，3k＋1)(k>－1)，解关于x的不等式f(x)0时，解不等式f(x)>0；(2)若f(x)>0对一切正数x恒成立，求实数k的取值范围．题型三利用不等式解应用题例3(2013·南通二模)为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会．计划用1600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1000m2，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房

5、每平方米的建筑费用为(kx＋800)元(其中k为常数)．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1270元．(每平方米平均综合费用＝)(1)求k的值；(2)问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？题型四不等式的综合应用例4设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)

6、x－a

7、.(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值；(3)设函数h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接写出不等式h(x)≥1的解集(不需给出演算步骤)．已知函数f(x)＝ax2＋ax

8、－4(a∈R)．(1)若函数f(x)恰有一个零点，求a的值；(2)若对任意a∈[1，2]，f(x)≤0恒成立，求x的取值范围；(3)设函数g(x)＝(a＋1)x2＋2ax＋2a－5，是否存在实数a，使得当x∈(－2，－1)时，函数g(x)的图象始终在f(x)图象的上方？若存在，试求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．1.(2013·北京卷)设D为不等式组表示的平面区域，区域D上的点与点(1，0)之间的距离的最小值为________．2.(2014·江苏卷)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意的x∈[m，m＋1]都有f(x)<0，则实数m的取值范

9、围为________．3.(2013·江苏卷)抛物线y＝x2在x＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是__________．4.(2013·天津卷)设a＋b＝2，b>0，则＋的最小值为________．5.已知正数a，b，c满足：5c－3a≤b≤4c－a，clnb≥a＋clnc，则的取值范围是________．6.设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn.已知2a2＝a1＋a3，数列{}是公差为d的等差数列．(1)求数列{an}的通项公式(用n、d表示)；(2)设

10、c为实数，对满足m＋n＝3k且m≠n的任意正整数m、n、k，不等式Sm＋Sn>cSk都成立．求证：c的最大值为.(本题模拟高考评分标准，满分14分)(2013·无锡一模)要制作一个如图的框架，要求所围成的总面积为19.5m2，其中ABCD是一个矩形，EFCD是一个等腰梯形，梯形高h＝AB，tan∠FED＝，设AB＝xm，BC＝ym.(1)求y关于x的表达式；(2)如何设计x、y的长度，才能使所用材料最少？1.若函数f(x)＝则不等式

11、f(x)

12、≥的解集为________．2.设函数f(x)＝x3＋3bx2＋3cx有两个极值点x1、x2，且x1∈[－1，0

13、]，x2∈[1，2]．(1)求b、c满足的约束条件，并在坐标平面内画出满足这些条