第六章 自由电子费米气体

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1、第六章自由电子费米气体(金属自由电子论)FreeElectronFermiGas在固体材料中，三分之二以上的固体纯元素物质属于金属材料。由于金属具有极好的导电、导热性能及优良的机械性能，是一种非常重要的实用材料，所以，通过对金属材料功能的研究，可以了解金属材料的性质，同时推动现代固体理论的进一步发展。另一方面，对金属材料的了解，也是认识非金属材料的基础。引言本章将按照理论发展的顺序来介绍金属电子论。有关金属的第一个理论模型，是特鲁德(P.Drude)在1900年提出的经典自由电子气体模型。它将在

2、当时已非常成功的气体分子运动理论运用于金属，用以解释金属电导和热导的行为。1928年索末菲(A.Sommerfeld)又进一步将费米-狄拉克统计理论用于自由电子气体，发展了量子的自由电子气模型，从而克服了经典自由电子气模型的不足。2许多固体具有导电性，这意味着在这固体内有许多电子并没有真正被原子所束缚住，相反的这些电子可以在固体内遨游。具有导电性的固体可被区分成两类，那便是金属与半导体。在这章节内我们将只针对金属进行讨论。3§6.1金属自由电子论的物理模型4——借助自由电子模型，我们可以理解金属，

3、特别是简单金属的许多物理性质。尽管如此，在讨论那些主要依赖于传导电子动力学的相关性质时，自由电子模型仍然获得了很大成功。在下一章中我们将讨论传导电子与晶体离子实之间的相互作用。自由电子模型——原子中的价电子变成传导电子，并且在金属体内自由运动；不考虑电子与电子、电子与离子实之间的相互作用——但是我们也知道，即使是在自由电子模型最为适用的金属中，传导电子的电荷分布实际上也与离子实的强静电势密切相关。5在量子力学创立很久以前，人们就已经建立了用自由电子的运动来解释金属性质的学说。如著名的欧姆定律公式以

4、及电导率与热导率之间关系的推导。——完全忽略电子与电子、电子与离子实之间的相互作用。无外场时，传导电子作匀速直线运动；有外场时，传导电子的运动服从牛顿运动定律。1特鲁德(Drude)经典自由电子气理论特鲁德模型——成功地处理了直流电导问题特鲁德模型将金属晶体内的高浓度(1022～1023/cm3)电子气视作理想气体，其基本假设：——传导电子在金属中运动时，与原子实发生碰撞，是一个使电子改变速度的瞬时事件；并且忽略电子与电子之间的碰撞（不同于理想气体）。传导电子轨迹6——单位时间内传导电子与原子实发

5、生碰撞的概率是1/t，t称为平均自由时间。而且假设：t与电子位置和速度无关。——电子气系统和周围环境达到热平衡仅仅是通过碰撞实现的，碰撞前后电子的速度毫无关联，且方向是随机的，其速度是和碰撞发生处的温度相对应的。2）金属的直流电导根据特鲁德模型，金属晶体内的电子运动类似理想气体分子的运动，因此电流密度为j=-nev平n——金属导体内的电子数密度v平——电子运动的平均速度外电场E=0时，v平=0电子运动是随机的净定向电流为零，对电流密度没有贡献7me——电子的质量t——传导电子与离子实发生碰撞的平均

6、自由时间欧姆定律外电场E≠0时，v平≠0——产生净定向电流在外场E作用下，考虑电子每一次碰撞后其运动方向是随机的，所以电子的初速度对平均速度是没有贡献的。因此，电子平均速度v平起源于在外场E作用下，电子在连续两次碰撞的平均时间间隔内，电子附加上的一个速度：8——实验测定金属的电阻率r，来估计平均自由时间t3）金属的平均自由时间和平均自由程——平均自由程l(电子在连续两次碰撞之间的平均运动距离)——根据经典的能量均分定律，有——但实验中发现金属中电子的平均自由程要比以上特鲁德模型的估算值大得多。Cu

7、：T=4K，（起源于波粒二象性）9——设单位体积内的电子数为n，则电子气系统的内能密度为——每个电子具有3个自由度，每个自由度具有kBT/2的平均能量特鲁德模型将金属中的电子视作经典粒子。根据经典的能量均分定律：4）金属的比热电子气的热容：大多数金属高温下与晶格振动的贡献相当，这与实验结果不符。10通过假定平衡态下电子具有确定的平均速度，成功地处理了直流电导问题；得到金属电子的弛豫时间、平均自由程和热容。获得的平均自由程和热容与实验结果不符；在处理磁化率等问题上也遇到根本性的困难。经典电子论的失败

8、或困难量子力学对金属中电子的处理——索末菲在自由电子模型基础上，提出电子在离子产生的平均势场中运动，电子气体服从费密—狄拉克分布和泡利不相容原理。——成功地计算了电子的热容，解决了经典理论的困难。4）特鲁德模型的成功与失败112索末菲(Sommerfeld)的自由电子论电子在运动中存在一定的散射机制。一、索末菲自由电子模型电子在一无限深度的方势阱中运动，电子间的相互作用忽略不计；电子按能量的分布遵从Fermi－Dirac统计；电子的填充满足泡利（Pauli）不相容原理；（即金属中