第 18 讲 方程增根遗根问题

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1、第18讲方程增根遗根问题（第课时）神经网络准确记忆！方程的八种非同解变形重点难点好好把握！重点：1．；2．；3．。难点：1．；2．；3．；。考纲要求注意紧扣！1．了解八种非同解变形；2．判别方程变形后是否会产生增根或是遗根。如果产生，是增根还是遗根。命题预测仅供参考！1．；2．；3．。考点热点一定掌握！方程变形后，如果新方程的未知数的允许取值范围和旧方程相比较是变大了，则一般可能产生增根，若是变小了，则一般可能会遗根。下述八种变形可能导致扩大或缩小未知数允许取值范围，是非同解变形，故而有可能引起增根或遗根。1．方程两边同乘含未知数的代数

2、式即（其中不为常数）。例.(初三)解方程⑴。解：两边同乘得⑵，⑵的的允许取值范围比⑴扩大了，可能增根。再进一步分析，⑵可取，⑴不能。但不是⑴的根，所以从⑴变到⑵实际上没有增根。例.(初三)解方程⑴。解：两边同时除以（即同乘以）得⑵，⑵的的允许取值范围比⑴缩小了，可能遗根。再进一步分析，⑵不可以取，但⑴可以取。而且正好是⑴的根，所以从⑴变到⑵遗了根。2．方程两边同加含未知数的代数式即（其中不为常数或整式）。例.(初三)解方程⑴。解：两边同时加上得⑵，⑵的的允许取值范围比⑴扩大了，可能增根。进一步分析，⑵中的，但⑴中，，所以从⑴变到⑵产生了

3、增根。例.(初三)解方程⑴。解：两边同时加上得⑵，⑵的的允许取值范围比⑴扩大了，可能增根。进一步分析，⑵中，但⑴中，，所以从⑴变到⑵产生了增根。3．方程两边同时平方即。例.(初三)解方程⑴。解：两边平方得⑵，⑵的的允许取值范围比⑴扩大了，可能增根。进一步分析，⑴中要求，⑵中的，，所以从⑴变到⑵产生了增根。4．。例.（高一）解方程⑴。解：变形得⑵，⑵的允许取值范围是，但⑴中若，且使为无理数，或分母是偶数而分子是奇数的既约分数时，⑴将无解。显然，⑵的的允许取值范围比⑴扩大了，可能增根。特别注意，这里的⑵的取值范围虽然比⑴扩大了，但反而可能遗

4、去根“1”，因为当时，由方可得。5．。例.（高一）⑴。解：变形为⑵，⑵的允许取值范围是，但⑴中要求，显然，⑵的的允许取值范围比⑴扩大了，可能增根。由⑵得，，所以从⑴变到⑵产生了增根。6．（为常数）。例.（高一）解方程⑴。解：变形为⑵，⑵的的允许取值范围比⑴扩大了，可能增根。7．利用对数运算法则把方程变形例.（高一）解方程⑴。解法一：变形为，再变为，即⑵，⑵中要求，这在⑴中是一样的。⑵中还要求和同号，但⑴中无此要求，显然，⑵的的允许取值范围比⑴缩小了，可能遗根。解法二（不会遗根）：变形为，即，即，∴，∴，。8．利用合分比定理把方程变形即。

5、例.(初三)解方程⑴。解：利用合分比定理可得⑵，⑵的的允许取值范围和⑴不同，除共同要求外，⑴中还要求，⑵中还要求，但正好是⑴的根，正好是⑵的根，所以由⑴变到⑵时，遗了根，而增了根。一般说来，此种变形的增根出在的解中，遗根出在的解中。能力测试认真完成！1.(初三)解方程()。下面的解法对吗？为什么？去分母得，即，即，即，两边同时除以得。2.(初三)解方程。下面的解法对吗？为什么？两边通分得⑴，即⑵，∵方程两边的分子相同，∴它们的分母也应该相同，∴⑶，即，∴原方程无解。3.(初三)已知方程和方程有一个相同的根，求的值。下面的解法有问题吗？设

6、的两根为、，的两根为、，则，又，∴。5.（高一）解方程，下面的解法对吗？为什么？由对数定义得，即，解之得，，由对数函数的定义有，，而使原方程左边的对数的底数为1，使原方程左边的对数的底数小于零，所以原方程无解。6.(初三)下面解方程的过程中产生了增根，请问是在哪一步产生的？为什么？第一步：利用对数运算法则得⑴；第二步：根据得⑵；第三步：⑵式两边同乘得⑶；解之得，（舍去），∴原方程的解为。参考答案仔细核对！123456781．方程两边同乘含未知数的代数式√√√2．方程两边同加含未知数的代数式3．方程两边同时平方4．5．√6．(为常数)√7

7、．利用对数运算法则把方程变形8．利用合分比定理1.(初三)解方程()。下面的解法对吗？为什么？去分母得，即，即，即，两边同时除以得。答：错在两边同时除以，因为这样处理可能遗根，这里干脆连未知数都消失了。正确的做法如下：原方程化为，即，∴，解之得。点评：本题方程两边同乘含未知数的代数式。2.(初三)解方程。下面的解法对吗？为什么？两边通分得⑴，即⑵，∵方程两边的分子相同，∴它们的分母也应该相同，∴⑶，即，∴原方程无解。答：错在由⑵到⑶不是同解变形，正确解法如下：原方程化为⑵，交叉相乘去分母得，解之得，检验后知是原方程的解。点评：本题方程两

8、边同乘含未知数的代数式。3.(初三)已知方程和方程有一个相同的根，求的值。下面的解法有问题吗？设的两根为、，的两根为、，则，又，∴。答：上述解答有遗根。遗根发生在中两式相除得出时。这里应该如下这样来处理就不