第7讲 图形与面积

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1、第7讲图形与面积第7讲图形与面积一、直线图形的面积　　在小学数学中我们学习了几种简单图形的面积计算方法，数学竞赛中的面积问题不但具有直观性，而且变换精巧，妙趣横生，对开发智力、发展能力非常有益。　　图形的面积是图形所占平面部分的大小的度量。它有如下两条性质：1．两个可以完全重合的图形的面积相等；2．图形被分成若干部分时，各部分面积之和等于图形的面积。　　对图形面积的计算，一些主要的面积公式应当熟记。如　　正方形面积=边长×边长；　　矩形面积=长×宽；　　平行四边形面积=底×高；　　三角形面积=底×高÷2；　　梯形面积=（上底

2、+下底）×高÷2。　　此外，以下事实也非常有用，它对提高解题速度非常有益。　　1．等腰三角形底边上的高线平分三角形面积；　　2．三角形一边上的中线平分这个三角形的面积；　　3．平行四边形的对角线平分它的面积；　　4．等底等高的两个三角形面积相等。　　解决图形面积的主要方法有：　　1．观察图形，分析图形，找出图形中所包含的基本图形；　　2．对某些图形，在保持其面积不变的条件下改变其形状或位置（叫做等积变形）；　　3．作出适当的辅助线，铺路搭桥，沟通联系；　　4．把图形进行割补（叫做割补法）。　　例1你会用几种不同的方法把一个三

3、角形的面积平均分成4等份吗？　　解：最容易想到的是将△ABC的底边4等分，如左下图构成4个小三INCLUDEPICTURE"http://www.jdedu.net:8080/RESOURCE/XX/XXSX/ALPK/BL000055/_OLE12941.JPG"*MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE"http://www.jdedu.net:8080/RESOURCE/XX/XXSX/ALPK/BL000055/35_123.jpg"*MERGEFORMATINET　　另外，先将三角形△ABC的

4、面积2等分（如右上图），即取BC的中点D，连接AD，则S△ABC-S△ABC，然后再将这两个小三角形分别2等分，分INCLUDEPICTURE"http://www.jdedu.net:8080/RESOURCE/XX/XXSX/ALPK/BL000055/_OLE12942.JPG"*MERGEFORMATINET　　还有许多方法，如下面的三种。请你再想出几种不同的方法。INCLUDEPICTURE"http://www.jdedu.net:8080/RESOURCE/XX/XXSX/ALPK/BL000055/35_1

5、24.jpg"*MERGEFORMATINET　　例2右图中每个小方格面积都是1cm2，那么六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？INCLUDEPICTURE"http://www.jdedu.net:8080/RESOURCE/XX/XXSX/ALPK/BL000055/35_125.jpg"*MERGEFORMATINET　　分析：解决这类问题常用割补法，把图形分成几个简单的容易求出面积的图形，分别求出面积。　　也可以求出六边形外空白处的面积，从总面积中减去空白处的面积，就是六边形的面积。　　解法1：把六边形分成6

6、块：　　△ABC，△AGF，△PEF，△EKD，△CDH和正方形GHKP。用S表示三角形面积，如用S△ABC表示△ABC的面积。　　INCLUDEPICTURE"http://www.jdedu.net:8080/RESOURCE/XX/XXSX/ALPK/BL000055/_OLE12943.JPG"*MERGEFORMATINET　　故六边形ABCDEF的面积等于INCLUDEPICTURE"http://www.jdedu.net:8080/RESOURCE/XX/XXSX/ALPK/BL000055/_OLE129

7、44.JPG"*MERGEFORMATINET　　说明：当某些图形的面积不容易直接计算时，可以把这个图形分成几个部分，计算各部分的面积，然后相加，也就是说，可以化整为零。　　解法2：先求出大正方形MNRQ的面积为　　6×6=36（cm2）。　　INCLUDEPICTURE"http://www.jdedu.net:8080/RESOURCE/XX/XXSX/ALPK/BL000055/_OLE12945.JPG"*MERGEFORMATINET　　INCLUDEPICTURE"http://www.jdedu.net:8

8、080/RESOURCE/XX/XXSX/ALPK/BL000055/_OLE12946.JPG"*MERGEFORMATINET　　说明：当某些图形的面积不易直接计算时，可以先求出一个比它更大的图形的面积，再减去比原图形多的那些（个）图形的面积，也就是说，先多算一点，再把多算的部分减去