第7讲 图形(1)

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1、第七讲平面图形的等积变形与求积问题(一)【主题策划】平面图形问题是小学阶段非常重要的知识，学好它不仅为我们上初中学习几何打下基础，而且可以开发智力，丰富我们的解题思路。从本讲开始，我们来研究与多边形面积有关的知识。部分多边形面积公式：(1)(2)三角形面积公式---------------正方形面积公式---------------(3)(4)长方形面积公式-----------------平行四边形面积公式--------------（5）梯形面积公式-------------------梯形面积公式----

2、--------------（注：a为梯形的中位线。）【五环旗下】例1、下面是一个长方形纸片，请你在这张纸片上画出一个正方形。你有几种不同方法呢？分析与解：方法一：用“量”的方法。１０方法二：用“折”的方法。方法三：再做一个与原长方形纸片一样的纸片，用“重叠”的方法得到正方形。例2、如右下图，在大正方形中画两条互相垂直的线段，把大正方形分成A、B、C、D四部分。已知大正方形的边长是5厘米，A是一个边长为2厘米的正方形。请问：1、D是正方形吗？2、B、C的形状一样吗？3、B、C、D的面积分别是多少？4、B的面积是

3、A的多少倍？D的面积是C的多少倍？分析与解：1、D是正方形。2、B、C两个长方形面积相等、形状完全相同。3、D的面积为（5－2）×（5－2）=9（平方厘米），B、C的面积为（5－2）×2=6（平方厘米），4、B的面积是A的6÷4=1.5倍，D的面积是C的9÷6=1.5倍。由问题4可以得出，或B×C=A×D这两个等式，这两个等式在以后的学习中经常用到，请同学们把它记住。１０例3、用四个长为5厘米，宽为3厘米的长方形纸片，可以摆成图1，请问：1、图1中两个正方形的边长各是多少厘米？2、图2中四边形EFGH的面积是多

4、少平方厘米？图1图2分析与解：1、图1中大正方形的边长为5＋3=8厘米，小正方形的边长为5－3=2厘米。2、图2中正方形EFGH的面积为（3×5）×4÷2＋2×2=34（平方厘米）。(求EFGH的面积还有其它方法，请同学们自己想一想。)注：我国古代三国时期的数学家赵爽，就是用这个图形证明了著名的“勾股定理”。这个图形在中国古代称为弦图，是一个非常有用的基本构图。例4、（1）如图1、图2，两个完全一样的三角形可以拼成一个长方形或平行四边形，三角形的面积是拼成图形面积的（）。（2）如图3，三角形ABC的面积是平行四

5、边形面积的（）；阴影部分面积和是平行四边形面积的（）；１０（3）图4中的三个三角形的面积都等于长方形面积的（），为什么这三个三角形面积相等？分析与解：（1）。（2）、。（3），因为这三个三角形的底相同，高相等，同底等高的两个三角形面积必相等。注：在长方形中可以画很多面积相等的三角形，这些三角形的关系是：同底等高。例5、（1）如图1，O为长方形ABCD内任意一点，图中两块阴影的面积和占长方形面积的几分之几，为什么？（2）如图2，O为对角线AC上一点，图2中两个阴影三角形面积存在着怎样的关系呢？为什么？分析与解：（

6、1）：图1中两块阴影面积和占长方形面积的，过O点做长方形长的平行线如图3，这条平行线将原长方形分成两个小长方形，阴影三角形AOD是上面长方形面积的，阴影三角形BOC是下面长方形面积的，所以两块阴影面积和占大长方形面积的。（2）：图2中两个阴影三角形面积相等。因为S△AOD＋S△OBC=长方形面积的；１０S△ABO＋S△OBC=长方形面积的；所以S△AOD=S△ABO。同理S△OBC=S△OCD。注：由问题1、问题2推出的两个结论很重要，请同学们一定要记住。例6、下图中O是大长方形对角线上一点，你能说明长方形甲与

7、长方形乙面积相等吗？分析与解：因为S△ACD=S△AOH＋S△OCG＋S长方形乙S△ACB=S△AOE＋S△OCF＋S长方形甲又因为S△ACD=S△ACB，S△AOH=S△AOE，S△OCG=S△OCF，所以，长方形甲的面积等于长方形乙的面积。注：牢记这两个形状不同面积相等的长方形，它成立的条件是：O点在大长方形对角线上。例7、观察下图，在三角形ABO中，C、D、F为AB边的四等分点。请问：（1）三角形FBO面积是三角形ABO面积的几分之几？（2）三角形AFO的面积是三角形FOB面积的几倍？（3）三角形FOB的

8、面积是三角形AFO面积的几分之几？分析与解：（1）三角形FBO的面积是三角形ABO面积的。（2）三角形AFO的面积是三角形FOB面积的3倍。１０（3）三角形FOB的面积是三角形AFO面积的。注：知道高相等的两个三角形面积的比，等于对应底的比。例8、如下图，梯形对角线把梯形ABCD分为四个三角形，这四个三角形有怎样的关系呢？分析与解：1、有三组面积相等的三角形。（1）S△ABD=S△AC