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《海伦(horon)公式探究与拓展》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、海伦(Horon)公式的探究与拓展江苏省东台市五烈中学邮编:224200杨荫林邮箱:yang10314@139.com手机:13584756016电话:0515-85420031(办公室)(本文发表于扬州大学《高中数学教与学》201108期)在现行（苏教版）普通高中课程标准实验教科书（必修5）中，第一章解三角形复习题P24探究·拓展里，让我们再次阅读和欣赏了海伦---秦九韶公式习题是这样给出的：第9题.(阅读题)在<数学3(必修)>中,我们曾介绍过南宋时期的数学家秦九韶发现的求三角形面积的“三斜求积”公式它与古希腊数学家海伦给出的三角形面积公式是一致的“三斜求积”公式的证明已经失传，吴文俊教授
2、根据我国古代几何证明的传统特点作了一个补证。（证明见课本）你能用正弦定理和余弦定理证明“三斜求积”公式或海伦公式吗？证明：如图16如图1依然在现行普通高中课程标准实验教科书（必修5（苏教版））中，第一章解三角形习题1.2P17探究·拓展里，第12题如图,已知圆内接四边形ABCD中,AB=2,BC=6,AD=CD=4,如何求此四边形ABCD的面积.由此我们受海伦公式的影响,所以我们猜想:有没有已知圆内接四边形的四边求此四边形的面积公式探究一:如图2,已知圆内接四边形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d.求圆内接四边形ABCD的面积S四边形ABCD在⊿ABC中,AC2=a2+b2-2
3、abcosB在⊿ABC中,AC2=c2+d2-2cdcosD=c2+d2+2cdcosB所以cosB=那么6如图2(1)拓展结论一:设a,b,c,d为圆内接四边形ABCD的四边,p表示周长的一半,则(2)那么上述圆内接四边形ABCD中,AB=2,BC=6,AD=CD=4，则S四边形ABCD=思考一：如果同时有外接圆和内切圆的四边形，那么怎么样6用它的四边之长来计算面积呢？图3探究二：由图3知道四边形ABCD同时有外接圆和内切圆,那么∠B与∠D互补;a+c=b+d由探究一中拓展结论二:同时有外接圆和内切圆的四边形,它的面积等于四边乘积的算术平方根.思考二:如果有内切圆的四边形,那么它的面积是不是
4、还等于四边乘积的算术平方根呢?探究三:图4由余弦定理AC2=a2+b2-2abcosB=c2+d2-2cdcosD6又2S四边形ABCD=absinB+cdsinD……(4)为方便起见,设∠B+∠D=(3)(4)分别平方再相加得拓展结论三：四边形ABCD有内切圆，则其中a,b,c,d为边长,.从探究三的过程中，我们还得到了一般四边形的面积计算公式。拓展结论四：设四边形ABCD的边长为a，b,c,d.对角和为.那么纵观上述探究过程我们体会到:这是一个从特殊到一般的探索研究过程,推导过程中主要运用了余弦定理,圆内接四边形和外切四边形的性质以及恒等变形的方法.如果我们一开始就抓住拓展结论四去探索研究
5、,我们将发现拓展结论三、拓展结论二、拓展结论一和海伦(秦九韶)公式都是拓展四在不同条件下的特例.如果能想到这些….说明我们的劳动是有收获的,“脑白金”没有白流。最后留给两个问题，供大家思考：1.如图5,设p表示圆外切四边形周长的一半,a,b,c,d表示各顶点到内切圆的切线长,表示内切圆的半径,则(1)(2)2.如图6,设四边形ABCD的四边为a,b,c,d.两条对角线为e,f.面积为S,则6图5图6地址:江苏省东台市五烈镇中学杨荫林邮编:224200手机:13584756016邮箱:yang10314@139.com电话:0515-85420031(办公室)6
