海伦公式的几种证明与推广

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1、海伦公式的几种证明与推广古镇高级中学付增德高中数学必修⑤第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重要且优美的公式——海伦公式〔Heron'sFormula〕：假设有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由以下公式求得：，而公式里的，称为半周长。海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据MorrisKline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不

2、用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。海伦公式形式漂亮，结构工整，有多种变形，如：S======教课书中并以习题形式出现，给出的参考答案是利用三角形面积计算公式和余弦定理的证明过程：==下略。我国南宋著名数学家秦九韶也发现了与海伦公式等价的“三斜求积”公式，中国古代的天元术发展水平非常高，笔者猜想秦九韶在独立推出“三斜求积”公式过程中，利用了解方程的方法，因此海伦公式可以作如下推证，从三角形最基本的面积公式入手，利用勾股定理，布列方程组求高。如图2，5在△ABC中，AD为边BC上的高，根据勾股定理，有解方程，得，，下略。在求高的方法上，我们也可以

3、用斯特瓦尔特定理，根据斯氏定理，△ABC顶点A于对边BC上任一点D间的距离AD有下列等式确定：，等式改写为而当点D是顶点A的正射影时,有，利用比例的性质，变形得，，代入即求出高AD。推证海伦公式也可以考虑应用三角函数的恒等式，容易证明下列三角恒等式：若∠A+∠B+∠C=180°那么++=1，5如图3,在△ABC中，内切圆⊙O的半径是r,则,,,代入恒等式++=1，得，两边同乘，有等式………①又，，所以，，同理，。………②于是△ABC的面积===，把①、②式代入，即得=三角形的面积和三边有如此优美和谐的关系，我们不禁会类比猜想，简单四边形的面积和它的四条边又是什么关系

4、呢？由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设四条边长分别为，且,则S四边形=现根据猜想进行证明。证明：如图，延长DA，CB交于点E。设EA=eEB=f∵∠1+∠2=180○∠2+∠3=180○∴∠1=∠3∴△EAB～△ECD∴==，=5解得：e=③f=④由于S四边形ABCD=S△EAB将③，④跟b=代入海伦公式公式变形，得：∴S四边形ABCD===========所以，海伦公式的推广得证。5参考文献［1］七市高中选修教材编写委员会．数学问题探究[M]．北京：生活·读书·新知三联书店，2003：14～２６．［2］王林全．初等几

5、何研究教程[M]．广州：暨南大学出版社，１９９６．5