高数第三章第七节曲率

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1、第七节曲线的弯曲程度与切线的转角有关与曲线的弧长有关机动目录上页下页返回结束主要内容:一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径平面曲线的曲率第三章一、弧微分规定单调增函数.,,,取负号相反时正号取时的方向与曲线正向一致当ssAM弧长弧微分公式二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线弯曲程度的量．))切线转角越大弧段弯曲程度越大转角相同弧段越短弯曲程度越大曲率的定义)在光滑弧上自点M开始取弧段,其长为对应切线定义弧段上的平均曲率点M处的曲率注意:直线上任意点处的曲率为0!机动目录上页下页返回结束转角为例1.求半径为R的圆上任意点处的曲率.解:如图所示,可见:R愈小,则K愈大,圆弧弯曲

2、得愈厉害;R愈大,则K愈小,圆弧弯曲得愈小.机动目录上页下页返回结束故曲率计算公式为由弧微分公式:曲率K的计算公式二阶可导,设曲线弧则由机动目录上页下页返回结束若曲线由参数方程给出,则例1解显然,例2证如图（（在缓冲段上,因为三、曲率圆与曲率半径设M为曲线C上任一点,在点在曲线把以D为中心,R为半径的圆叫做曲线在点M处的曲率圆(密切圆),叫做曲率半径,D叫做曲率中心.在点M处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点D使机动目录上页下页返回结束曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.曲线上一点处的曲率

3、半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦).例3解如图,受力分析视飞行员在点O作圆周运动,O点处抛物线轨道的曲率半径得曲率为曲率半径为即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.内容小结1.弧微分或曲率公式3.曲率圆曲率半径机动目录上页下页返回结束2.曲线弯曲程度的描述——曲率;思考与练习曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?答:有公切线;凹向一致;曲率相同.机动目录上页下页返回结束作业第八节目录上页下页返回结束P177习题3-75题