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1、习题3-11、计算下列第二类曲线积分：（1）L为抛物线上由点（0,0）到点（2,4）的一段弧；（2）L为按逆时针方向饶行的圆；（3）L为螺旋线上由t=0到t=2的有向弧段;（4）L为由点（1，1，1）到点（2，3，4）的一段直线；（5）其中L为由y=x,x=1及y=0所构成的三角形闭路，取逆时针方向；（6）其中，L按逆时针方向饶行的圆.解（1）化为对x的定积分，L:，x从0到2，所以=（2）圆周的参数方程为：===（3）L的参数方程为：，t从0到2，所以==（4）直线的参数方程为：代入==（5）三条直线段的方程分别为y=0,x从0到1；x=
2、1,y从0到1；y=x,x从1到0.所以==02、一力场由以横轴正向为方向的常力F构成，试求当一质量为m的质点沿圆周按逆时针方向走过第一象限的弧段时，场力所作的功.解：由题意知，场力所作的功为L:,x从R变到0，于是，w=3、有一平面力场F，大小等于点（x,y）到原点的距离，方向指向原点.试求单位质量的质点P沿椭圆逆时针方向绕行一周，力F所作的功.解：椭圆的参数方程为：，t从0到2所以，4、有一力场F，其力的大小与力的作用点到xoy平面的距离成反比且指向原点，试求单位质量的质点沿直线从点移动到时，该场力所作的功.解：直线的参数方程为：，t从
3、1到2所以，习题3-2答案1、解：记S在x>0一侧为，在x<0一侧为，在z=h上的部分为，在z=0上的部分为，在y>0一侧为，在y<0一侧为，则由题有同理可得：2、解：（1）由题在xoy面上的投影区域，（2）（3）将S分成和，其中：z=h，取上侧，：，x>0取下侧则(4)记S在z=0上的部分为，在x=0上的部分为,在y=0上的部分为,在上的部分为,在上的部分为.有3、解：（1）原式=.（2）原式=§3-3格林公式及其应用1．(1)，，(2),,（3），（4），而在以为起点为终点的直线上所以原式2．，因为积分与路径无关，所以,得3.(1)，是
4、二元函数u(x,y)(的全微分.，得，故(2)，是二元函数u(x,y)(的全微分.，得，故(3)，是二元函数u(x,y)(的全微分.，得，故(4)，是二元函数u(x,y)(的全微分.，得，故4．（1）,故为全微分方程。，故通解为（2）,故为全微分方程。，故通解为（3）,故为全微分方程。，故通解为（4）,故不是全微分方程。§3-4高斯公式和斯托克斯公式1（1）原式====（2）原式====（3）原式=====（4）原式===（5）原式====2.解:(1)圆周事实上就是xoy面上的圆,取为圆域的上侧,(2)取为平面被L所围成的部分的上侧,的面
5、积为的单位法向量为,3.解:其中为平面z=2被L所围成的部分的上侧,因为在yoz面上的投影区域为线段,所以,又在xoy面上的投影区域为,所以,习题3—51．解：（1），，（2），，（3），，。1．证明：场力沿路径L所作的功为，要证明场力所作的功与所取的路径无关，只需证明上面的积分与路径无关，显然，半平面x>0是单连通域。在该区域具有一阶连续偏导数，另外，所以上面的积分与路径无关，因而结论正确。3．解：（1）（2）（3）（4）4．证明：（1）所以A为有势场（2）所以A为有势场
