数学解题新概念 罗增儒

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1、数学解题新概念陕西师范大学数学系罗增儒邮编：710062电话：029-8530887213609297766E-mail：zrluo@snnu.edu.cn对于数学教师来说，再也没有比“数学解题”更熟悉的专业词汇了，再也没有比“解题教学”更平常的专业活动了，但是，“什么叫题、什么叫解题、什么叫解题教学、怎样学会解题”我们都能说清楚、讲明白、做到位吗？说来见笑，笔者确实曾经想了好多年没有想清楚，确实曾经担忧会面临这样的尴尬：解了一辈子题说不清“什么叫解题”，教了一辈子书说不清“什么叫解题教学”．于是，笔者思考、实践、并最终写出了“数学解题学”的书（参见文【1】、【2】

2、等），但是，个人的解题思考（包括今天的发言）“与其说是记录了一些研究的成果，不如说是提出了一些思考的课题”，我告诫自己：“叙述是商讨性的、名词是描述性的，画一个问号作为丑陋的开头，把完善、完整、完美的句号留给读者”（参见文【1】前言）．（我半路出家从事数学教育，至今对数学和教育都一知半解，有时候，从门缝外往里看，好像看到点什么，其实什么也没有看清楚）让我们从介绍一个简单的练习开始.1　解题新概念的认识841-1体现解题新概念的引例——自行车问题第一、案例的呈现例1-1一个自行车新轮胎，若安装在前轮则行驶5000后报废，若安装在后轮则行驶3000后报废．如果行驶一定路

3、程后交换前、后轮胎，使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶多少？（请用方程或算术等多种方法求解．求解后想想如何让学生也学会解）解法1解法2解法3这是不是一道数学题？是！那么，什么叫数学题呢？我们拿到一道数学题会做什么？找答案——解题，那么，什么叫数学解题呢？怎样进行数学解题呢？数学解题的过程是什么样的？我们是怎样学会数学解题的呢？84困难在哪里？●不清楚解题困难在哪里，反正读完题目之后就无从下手了．●感觉好像什么都不知道，总磨损量不知道，什么时候交换不知道，拿什么做等量关系不清楚，属于什么题型不清楚．●理不清题目的条件是什么．特别是自行车的“前轮”“后

4、轮”把“甲乙两个轮胎”与“自行车前后两个位置”交叉在一起，理不清自行车的“前轮后轮”的数学含义是什么．（参见图2）（4）理不清题目的结论是什么．表面上，结论是求“这辆车将能行驶多少”写得很清楚，但这与“交换”前、后轮胎有关，并且“交换”好像是实质的，否则，怎能“使一辆自行车的一对新轮胎同时报废”呢？排除解题的干扰因素，结论是否应为“一对新轮胎行驶多少”？如果你不能求解，没关系，请先做第2题．例1-2一件工程，平均分为前、后两段，甲工程队干前半段5000小时完成，乙工程队干后半段3000小时完成，如果两工程队同时动工，甲工程队干前半段、乙工程队干后半段一定时间后，甲、

5、乙两工程队交换（交换时间不计），使前、后两段同时完工，问整个工程一共几小时完成？（属于什么题型？中途交换如何处理？）如果你能求解第2题请返回做第1题；如果你也不能求解第2题，没关系，请先做第3题：例1-3一件工程，甲工程队干一半需5000小时，乙工程队干一半需3000小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成？（中途交换去掉了，属于什么题型？）84如果你能求解第3题，请返回做第2、第1题；如果你不能求解第3题，请看第4题．例1-4一件工程，甲工程队干需10000小时，乙工程队干需6000小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成？这是标准的工程问题了

6、．你最终至少要用两个以上的解法完成第1题．再想一想有什么体会．第二、案例的分析.案例分析1：关于解法．让我们从新开始，缺什么就设什么，有解法1：（方程解法）设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1的磨损量为，安装在后轮的轮胎每行使1的磨损量为．又设一对新轮胎交换位置前走了、交换位置后走了，分别以一个轮胎总磨损量为等量关系列方程，有（方程组）两式相加，得③则（）．④（这是2009年初中数学联赛的参考答案）作为“怎样解题”任务是完成了，但作为“84怎样学会解题”这只不过是新的开始——反思分析．反思1：当然，这个解法条理清晰，书写完整，答案正确，也不乏趣

7、味性的技巧．特别是，这个解法对“用字母表示数”的运用很熟练，“缺什么设什么”、引进过渡性的字母，既有助于写出相关代数式、建立等量关系、列出方程，又“设而不求”（像化学反应中的催化剂），表现出解题的艺术．但也正是这些技巧会给我们的教学讲解和学生接受带来困惑，把所求的未知数设为两个未知数之和，学生不太好理解，这是“怎样想到的”也不容易说清楚，这促使我们思考：能不能把题目处理得更好接受一些？首先，既然都只有辅助的作用，而①、②式的等量关系也被更实质性的③式代替了，那么，我们能不能一开始就抓住③式这个更本质的结构呢？事实上，不管甲轮胎还是乙轮胎作前（后）轮，磨损率是一样