杆件内力及内力图的绘制(梁的内力)(1)

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1、杆件的内力及内力图绘制（梁的内力）梁的概念内力计算剪力图和弯矩图的绘制。内容提要本章内容一、梁弯曲的概念二、梁的内力-剪力和弯矩三、剪力图和弯矩图四、剪力图和弯矩图的规律作图五、叠加法画弯矩图一、梁弯曲的概念构件的弯曲变形是工程中常见的，也是重要的基本变形。如图1中桥式吊车梁、图2中支架的横梁、图3中的管道梁、图4中的楼面梁等，都是工程中受弯曲的实例。当杆件受到垂直于杆轴的外力或在杆轴平面内受到外力偶作用时，杆的轴线将由直线变为曲线，这种变形称为弯曲变形。发生弯曲变形或以弯曲变形为主的构件，通称为梁。1.弯曲的概念图1图2图3图4工程中大多数的梁，其横截面都具有对

2、称轴，如图5所示。对称轴与梁的轴线构成的平面称为纵向对称面(图6)。若作用在梁上的外力或外力偶都作用在纵向对称面内，且外力垂直于梁的轴线，则梁在变形时，其轴线将在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线，这种弯曲变形称为平面弯曲。2.平面弯曲的概念图5图6根据梁的支座反力能否全部由静力平衡条件确定，将梁分为静定梁和超静定梁。静定梁又可分为单跨静定梁和多跨静定梁。单跨静定梁按支座情况可分三种基本类型：（1）简支梁梁的一端为固定铰支端，另一端为活动铰支座(图7(a))。（2）外伸梁其支座形式和简支梁相同，但梁的一端或两端伸出支座之外(图7(b))。（3）悬臂梁梁的一端固

3、定，另一端自由(图7(c))。3.梁的类型图7二、梁的内力-剪力和弯矩图8(a)为一简支梁，载荷P与支座反力NA和NB是作用在梁纵向对称面内的平衡力系。现用截面法分析任一截面m－m上的内力。梁的横截面上的内力比较复杂，一般存在两个内力元素：（1）剪力Q相切于横截面的内力。剪力的作用线通过截面形心。（2）弯矩M作用面与横截面垂直的内力偶矩。1.剪力和弯矩截面m－m上剪力Q的大小和方向以及弯矩M的大小和转向，可由右段梁的平衡方程确定∑Fy=0，NB-Q=0Q=NB∑mC(F)=0，NB·x-M=0M=NB·x根据作用力和反作用力的关系，分别以梁的左段和

4、右段为研究对象求出的Q和M，大小是相等的，而方向或转向是相反的(图8(b)、(c))。图8(1)剪力的正负号规定正剪力：截面上的剪力使研究对象作顺时针方向的转动(图7(a))；负剪力：截面上的剪力使研究对象作逆时针方向的转动(图7(b))。(2)弯矩的正负号规定正弯矩：截面上的弯矩使该截面附近弯成上凹下凸的形状(图10(a))；负弯矩：截面上的弯矩使该截面附近弯成上凸下凹的形状(图10(b))。2.剪力和弯矩和正负号规定图7图10利用截面法计算指定截面的剪力和弯矩的步骤如下：（1）计算支座反力。（2）用假想的截面在欲求内力处将梁截成两段，取其中一段

5、为研究对象。（3）画出研究对象的内力图。截面上的剪力和弯矩均按正方向假设。（4）建立平衡方程，求解剪力和弯矩。3.用截面法求指定截面的剪力和弯矩【例1】简支梁如图11(a)所示。已知P1=36kN，P2=30kN，试求截面I－I上的剪力和弯矩。【解】(1)求支座反力以整梁为研究对象，受力图如图11(a)。列平衡方程由　　∑mA(F)=0，RB×6-P1×1-P2×4=0得RB=（P1×1+P2×4）/6=26kN由　　∑mB(F)=0，P1×5+P2×2-RA×6=0得RA=(P1×5+P2×2)/6=40kN(2)求截面I-I的内力用I-I

6、截面将梁假想地截开，取左段为研究对象，受力图如图11(b)。列平衡方程由　∑Fy=0，RA-P1-Q1=0得Q1=RA-P1=(40-36)kN=4kN由　∑m1(F)=0，M1+P1×1-RA×2=0得M1=RA×2-P1×1=(40×2-36×1)kN·m=44kN·m计算结果Q1、M1为正，表明Q1、M1实际方向与图示假设方向相同，故为正剪力和正弯矩。若取梁的右段为研究对象，受力图如图11(c)所示。列平衡方程由　∑Fy=0，Q1+RB-P2=0得Q1=P2-RB=(30-26)kN=4kN由　∑m1(F)=0，RB×4-P2×2-M1

7、=0得M1=RB×4-P2×2=(26×4-30×2)kN·m=44kN·m可见，不管选取梁的左段或右段为研究对象，所得截面I-I的内力结果相同。【例2】外伸梁受载荷作用如图12(a)所示。图中截面1-1是指从右侧无限接近于支座B。试求截面1-1和截面2-2的剪力和弯矩。【解】(1)求支座反力以整梁为研究对象，受力图如图12(a)。由平衡方程求解支座反力。∑mB(F)=0，RC·a-P×2a-Me=0RC=(2Pa+Me)/a=（2Pa+Pa）/a=3P∑mC(F)=0，-RB·a-Pa-Me=0RB=(-Pa-Me)/a=(-Pa-Pa)/a

8、=-2P