静定梁的内力方程及内力图.ppt

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1、4.4.3梁的内力方程及内力图剪力图和弯矩图若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩皆可表示为坐标x的函数，即Q=Q(x)M=M(x)以上两函数表达了剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。剪力方程和弯矩方程为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴的变化规律，把剪力方程和弯矩方程用其图像表示，称为剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图的画法与轴力图、扭矩图很相似，用平行于梁轴的横坐标x表示梁横截面的位置，用垂直于梁轴的纵坐标表示相应截面的剪力和弯矩。在土建工程中，习惯上

2、将正剪力画在x轴上方，负剪力画在x轴的下方；正弯矩画在x轴下方，负弯矩画在x轴的上方，即把弯矩图画在梁受拉的一侧。剪力图和弯矩图(1)求支座反力以梁整体为研究对象，根据梁上的荷载和支座情况，由静力平衡方程求出支座反力。(2)将梁分段以集中力和集中力偶作用处、分布荷载的起讫处、梁的支承处以及梁的端面为界点，将梁进行分段。(3)列出各段的剪力方程和弯矩方程各段列剪力方程和弯矩方程时，所取的坐标原点与坐标轴x的正向可视计算方便而定，不必一致。绘制剪力图和弯矩图的步骤(4)画剪力图和弯矩图先根据剪力方程(

3、或弯矩方程)判断剪力图(或弯矩图)的形状，确定其控制截面，再根据剪力方程(或弯矩方程)计算其相应截面的剪力值(或弯矩值)，然后描点并画出整个全梁的剪力图(或弯矩图)。剪力图和弯矩图可以确定梁的最大剪力和最大弯矩值，其相应的横截面称为危险断面。【例9.4】悬臂梁如图9.14(a)所示，在自由端B处有集中力P作用，试作此梁的剪力图和弯矩图。【解】(1)列剪力方程和弯矩方程将坐标原点取在梁右端B点上，取距坐标原点为x的任意截面右侧梁为研究对象。利用计算剪力和弯矩的规律，列出剪力方程和弯矩方程分别为Q(x)=

4、P(0

5、最大的剪力和弯矩。【例9.5】简支梁如图9.15(a)所示，受均布荷载q作用，试画出梁的剪力图和弯矩图。【解】(1)求支座反力由于载荷对称，支座反力也对称，有RA=RB=ql/2(2)列剪力方程和弯矩方程坐标原点取在左端A点处，距原点A为x处的任意截面，其剪力方程和弯矩方程为Q(x)=RA-qx=ql/2-qx(0＜x＜l)M(x)=RAx-qx2/2=ql/2x-qx2/2(0≤x≤l)(3)画剪力图和弯矩图由式(a)可见，Q(x)是x的一次函数，所以剪力图是一条斜直线。由式(a)x=

6、0，QA右=ql/2x=l，QB左=-ql/2剪力图如图9.15(b)所示。由式(b)可见，M(x)是x的二次函数，所以弯矩图是一条二次抛物线，至少需要确定三个控制截面的弯矩值，才能描出曲线大致形状。由式(b)x=0，MA=0x=l/2，MC=ql2/8x=l，MB=0弯矩图如图9.15(c)所示。从所作的内力图可知，最大剪力发生在梁端，其值为｜Qmax｜=ql/2，最大弯矩发生在剪力为零的跨截面，其值为｜Mmax｜=ql2/8。【例9.6】简支梁受集中力P作用如图9.16(a)所示，试画出梁的剪

7、力图和弯矩图。【解】(1)求支座反力以整梁为研究对象，由平衡方程求支座反力。∑mB(F)=0，-RAl+Pb=0RA=Pb/l∑Fy=0，RA+RB-P=0RB=Pa/l(2)列剪力方程和弯矩方程梁在C截面处有集中力P作用，AC段和CB段所受的外力不同，其剪力方程和弯矩方程也不相同，需分段列出。取梁左端A为坐标原点(4)画弯矩图从式(b)可知，AC段的弯矩是x的一次函数，弯矩图是一条斜直线，只需确定该段始末两个控制截面的弯矩值，就能画出该段的弯矩图。由式(b)x=0，MA=0x=a，MC

8、=Pab/l从式(d)可知，CB段的弯矩是x的一次函数，弯矩图也是一条斜直线，由式(d)x=a，MC=Pab/lx=l，MB=0从所作的内力图知，若a>b，则在CB段任一截面上的剪力值都相等且比AC段的要大，其值｜Qmax｜=Pa/l，最大弯矩发生在集中力P作用的截面上，其值｜Mmax｜=Pab/l。如果集中力P作用在梁的跨中，即a=b=l/2，则｜Qmax｜=P/2｜M