2011届高三数学理大纲版创新设计一轮复习课件：2.7 函数的奇偶性与周期性

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1、了解奇函数、偶函数的定义/会判断一些简单函数的奇偶性，并能够用函数的奇偶性解决一些函数问题/了解周期函数的定义，并能够用函数的周期性解决一些函数问题第7课时函数的奇偶性与周期性1．偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数(evenfunction)．偶函数的图象关于y轴对称．2．奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数(oddfunction)．奇函数的图象关于原点对称．f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)3．周期性一般地，对于函数

2、f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的．f(x＋T)＝f(x)最小正周期1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()A．y＝－x3，x∈RB．y＝sinx，x∈RC．y＝x，x∈RD．y＝()x，x∈R答案：A2．(2010·豫南九校联考)f(x)＝－x的图象关于()A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称解

3、析：f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f(－x)＝　　－(－x)＝－＝－f(x)，则f(x)为奇函数，图象关于原点对称．答案：C3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为()A．－1B．0C．1D．2解析：由f(x＋2)＝－f(x)知f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，故知函数y＝f(x)的周期为4，∴f(6)＝f(4＋2)＝f(2)＝－f(0)．∵f(x)是R上的奇函数，易知f(0)＝0，∴f(6)＝－f(0)＝0，选B.答案：B4.f(x)，g(x)是定义

4、在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，则“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的()A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要的条件解析：“f(x)，g(x)均为偶函数”“h(x)＝f(x)＋g(x)为偶函数”，例如f(x)＝x3，g(x)＝－x3，而h(x)＝f(x)＋g(x)为偶函数．答案：B5．定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2＋x＋1，则f(x)＝________.解析：当x＝0时，f(0)＝－f(0)，即f(0)＝0.当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝

5、－x2＋x－1，∴f(x)＝答案：利用定义判断函数奇偶性的方法：(1)首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数是奇函数或偶函数的必要条件．(2)如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f(－x)＝－f(x)，或f(－x)＝f(x)是否对定义域内的每一个x恒成立(恒成立要给予证明，否则要举出反例)．【例1】下列函数：A．2B．3C．4D．5解析：①f(x)＝的定义域为{－1,1}，又f(－x)＝±f(x)＝0，则f(x)＝是奇函数，也是偶函数；②f(x)＝x3－x的定义域为R，又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－(x3－x)＝－f

6、(x)，则f(x)＝x3－x是奇函数；③由x＋>x＋

7、x

8、≥0知f(x)＝ln(x＋)的定义域为R，又f(－x)＝ln(－x＋)＝ln＝－ln(x＋)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；④f(x)＝的定义域为R，又f(－x)＝＝－＝－f(x)，则f(x)为奇函数；⑤由>0得－1

9、这样可起到事半功倍的作用(利用对称可已知“一半”求“另一半”)．【例2】已知f(x)＝x(＋)(x≠0)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)证明：f(x)＞0.解答：(1)解法一：f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)是偶函数．解法二：f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f(1)＝，f(－1)＝，∴f(x)不是奇函数．＋1)＝x(－1＋1)＝0，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(2)证明：当x＞0时，2x＞1,2x－1＞0，所以f(x)＝x(＋)＞0.当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)＞0，又f(x)是偶

10、函数，∴f(－x)＝f(x)，所以f(x)＞0.综上，均有f(x)＞0.变式2.设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋3)＝－，且当x∈[－3，－2]时，f(x)＝2x，则f(113.5)的值是()解析