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《第2章贝齐尔曲线和b》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二章贝齐尔曲线和B样条曲线随着计算机的发展，人们希望通过计算机对飞机、船体和汽车的外形进行设计。20世纪60年代，人们已经研究出三次样条函数，并将其作为描述飞机等几何行体的数学模型。到了70年代，法国雷诺汽车公司的工程师贝齐尔（Bezier）创造出一种适用于几何体外形设计的新的曲线表示法。这种方法的优越性在于：对于在平面上随手勾画出的一个多边形（称为特征多边形），只要把其顶点的坐标输入计算机，经过计算，绘图机就会自动画出同这个多边形很相象，又十分光滑的一条曲线，这种方法称为贝齐尔(Bezier)方法。贝齐尔(Bezier)方法的实际是把复杂曲线的描绘转化成简单的多边形描绘。2.1贝齐
2、尔曲线贝齐尔曲线的形状是通过一组多边形（也称为贝齐尔控制多边形）的各顶点唯一地定义出来的。在该多边形的各个顶点中，只有第一点和最后一点在曲线上，其余的顶点则用来定义曲线的形状。第一条边和最后一条边则表示出了曲线在起点处和终点处的切线方向。即第一条边和最后一条边分别和曲线在起点和终点处相切，曲线的形状趋向于多边形折线的形状。改变多边形折线的顶点位置和曲线形状的变化有着直观的联系。称为n次Bernstein多项式的基函数，贝齐尔曲线是以Bernstein多项式的基函数构造而成的。在外形设计中，给出一组初始型值点Pk(k=0,1,…,n),将它们按顺序连接为一个多边形，称为控制多边形。型值点
3、与Bernstein多项式的基函数的线性组合：称为n次贝齐尔曲线。说明,Bezier曲线在两端点处的切矢方向与控制多边形的第一条边和最后一条边一致的计算曲线上的点t00.250.50.751X11.451.631.983Y10.840.50.160绘制曲线P0P1P2P3绘制贝齐尔曲线的算法：Inputx(k),y(k)(k=0,1,2,…,n)画出控制多边形定义变量m,x1(m),y1(m)Forj=0tomt=j/m,x1(j)=0,y1(j)=0Fork=0tonbk=jc(n)/(jc(k)*jc(n-k))*t^(k)*(1-t)^(n-k)x1(j)=x1(j)+bk*x(
4、k)y1(j)=y1(j)+bk*y(k)NextkNextj绘制(m+1)个插值点绘出的图形自定义函数2.2B样条曲线B样条曲线是以B样条函数为基函数构造而成的。为了定义B样条曲线,首先给出n次截幂函数和n阶B样条函数的定义。初始型值点与B样条函数的线性组合：称为m次B样条曲线。它是参数t具有m-1阶连续导数的分段m次多项式。2.3B样条曲线当m＝1时，一次B样条曲线S1(t)是连接Pi(i=0,1，…,n)的折线段（即初始型值点的控制多边形）。当m=2时,二次B样条曲线S2(t)是以型值点Pi(i=0,1，…,n)为控制多边形的光滑曲线。事实上，可取L∈{0，1，…，n-2}分析(
5、L+1/2)/n≤t≤(L+3/2)/n时S2(t)的表达式。令t=(u+L+1/2)/n，则有nt-k=u+L+1/2-k，(０≤u≤1)。当kL+2时k≥L+3，u+L+1/2-k≤u+L+1/2-(L+3)=u-5/2≤-3/2。由于M３(x)的局部非零性，即当
6、x
7、>3/2时，M3(x)＝０。于是，可以看出，S２在子区间０≤u≤1上仅依赖于位矢PL，PL+１，PL+2。即改变PL，PL+１，PL+2仅影响B样条曲线的局部形状，这是B样条曲线的重要特征。二次B样条曲线S2(u)可以分n-2
8、段绘出，每段曲线上任意点的坐标为:计算曲线上的点u00.250.50.751X1.51.691.751.691.5Y10.970.8750.720.5L=0时，过点(1,1),(2,1),(1,0)的曲线方程绘制曲线P0P1P2P3计算曲线上的点u00.250.50.751X1.51.341.381.592Y0.50.280.1250.030L=1时，过点(2,1),(1,0),(3,0)的曲线方程绘制曲线P0P1P2P3绘制二次B样条曲线的算法：Inputx(k),y(k)(k=0,1,2,…,n)画出控制多边形Forl=0ton-2fori=0tomu=i/mx1(i)=u2(Xl
9、–2Xl+1+Xl+2)/2+u((-Xl)+Xl+1)+(Xl+Xl+1)/2Y1(i)=u2(Yl–2Yl+1+Yl+2)/2+u((-Yl)+Yl+1)+(Yl+Yl+1)/2NextI绘制(m+1)个插值点绘出的图形Nextl2.4自由曲线设计自由曲线要求出现直线段。只要适当选取Pl，Pl+1，Pl+2并使它们共线即可。设计的曲线要求出现尖点，只需要在出现尖点处将型值点的序号重复编号。一、设计自由曲线要求出现直线段。只要适当选取Pl，P
