高考看轨迹,四种方法皆相宜

《高考看轨迹,四种方法皆相宜》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、高考看轨迹，四种方法皆相宜动点的轨迹方程问题解答能反映出学生对曲线方程的基础知识的准确把握，解题能力培养学生的思维品质。因此这类问题仍将是高考命制试题的热点之一。现以2008年高考中与之相关的试题为例解析求动点轨迹方程的常用方法。直接法：建立适当直角坐标系，设轨迹上任一点的坐标是（x,y），根据题设中动点轨迹的几何条件，列出含动点坐标（x,y）的解析式。例1（2008浙江22）已知曲线C是到点P（-）和到直线y=-的距离相等的点解：设N（x,y）为C上任意一点，则︱NP︱=，N到直线y=-的距离为，由题

2、设得=，化简，得曲线C的方程为y=。点评：题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何的知识推出等量关系时，直接发显得简洁方便。但在方程变形过程中要注意是否同解，要把轨迹中遗漏的点补上或把不适合题意的杂点除去，即保证轨迹的完备性与完整性。定义法：分析题设几何条件，根据圆锥曲线定义判断轨迹是何种类型的标准方程，从而求解的方法。例2（2008湖北19）如图，在以点O为圆心，=4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB,P是半圆弧上一点，POB=30°曲线C是满足为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.（1）建立

3、适当的直角坐标系，求曲线C的方程。解法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则A(-2,0),B(2,0),P(,1)依题意的=-=-=2＜=4∴曲线C是以原点为中心，A、B焦点的双曲线。设实半轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c则c=2,2a=2,∴a=2,b2=c2-a2=2∴曲线C的方程为=1.解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得=-=-=2＜=4∴曲线C是以原点为中心，A、B焦点的双曲线设双曲线的方程-=1（a＞0,b＞0）,则有,解得a2=2,b2=

4、2,曲线C的方程为-=1.点评:本题虽有两种解法，但其关键在于抓住动点的几何特征符合双曲线的定义，设出标准方程是解答题目的基本思路。定义揭示了圆锥曲线的本质，深入理解并掌握定义，在解题时方能达到事半功倍的效果。参数法：恰当引入参数，将动点纵、横坐标用参数表示，再联立方程组消去参数得轨迹方程的方法。例3（2008山东22）已知曲线C1=1（a＞b＞0）所围成的封闭图形的面积为4，曲线C的内切圆半径为，记C2为曲线C1与坐标轴交点为顶点的椭圆。(1)求椭圆的方程（2）设AB是过椭圆C2中心的任意弦，是线段A

5、B的垂直平分线，M是上异与椭圆中心的点，若=,O为原点，当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程。解：由题意得,又a>b>0,解得a2=5,b2=4,∴椭圆方程为+=1.当AB所在直线斜率存在且不为0，设AB所在直线方程为y=kx(k≠0),A(x1,y1).解方程组得X12=,y12=,所以2=x12+y12=+=,设M（x,y）,由题意得=（≠0）,所以2=,即x2+y2=2,因为是AB的垂直平分线，所以直线的方程为y=-x,即k=-,因此x2+y2=2又x2+y2≠0,所以5x2+4y2=202

6、,故,又当k=0或不存在时，上式仍然成立。综上所述，M的轨迹方程为（点评：当动点关系不易找到，但动点依赖于某个参数，则可采用参数法，常用的参有变角、变斜率等。本题采用变斜率，设出直线方程，作为解题的切入点；同时对斜率不存在和斜率等于零的情况进行验证。使解题过程清晰而严密。代入法：（相关点法）相关点轨迹问题，主动点Q在已知曲线f(x,y)=0上运动，求与之相关的动点P的轨迹，找出P、Q两坐标间的关系，再代入主动点Q所满足的曲线f(x,y)=0.例4设点P（x0,y0）在直线x=m（y≠±m,0

7、，过点P作双曲线x2-y2=1的两条切线PA、PB,切点为A、B,定点（）,过点A作直线x-y=0的垂线，垂足为N，试.求△AMN的重心G所在的曲线方程。解：设A(x1,y1),B(x2,y2),由已知得y1y2≠0,且x12-x22=1,x22-y22=1,垂线AN的方程为y-y1=-x+x1,由联立得垂足N(,设重心G(x,y),所以解得由x12-y12=1可得（3x-3y-）(3x+3y-=2,即（x-）2-y2=为重心G所在的曲线方程。