相似形中由点位置不确定造成多解问题探究

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1、相似形中由点位置不确定造成的多解问题探究在近年的中考试题中出现了大量与三角形相似有关的一题多解问题，这类题目常常是由于给出的一个三角形顶点的位置不确定，及与另一个三角形顶点对应关系存在不确定性造成的，解决此类问题除了应联想所掌握相似三角形的一些基本图形（如平行线、相交型、母子相似形）等外，还要注意运用分类讨论思想、数形结合思想作指导。由于此类问题能够考查学生的空间想象能力，综合分析问题、解决问题的创新、创造的思维能力，因而倍受命题专家的青睐，下面摘取数例加以剖析，以飨读者.图1-1ABOyxP图1-2ABOyxC3C2C1P例1（佛山

2、市）已知Rt△OAB在平面直角坐标系中的位置如图1-1所示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的一个动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分.问点CA在什么位置时，由PC分割得到的三角形与Rt△OAB相似？在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标.分析：联想“平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似”，可以猜想当点C运动到点C1、C2且满足PC1//OA，或PC2//AB的位置时（图1-2），便有△OC1P∽△OAB，△BC2P∽△BAO，此时点C1、C2分别为OA

3、、AB的中点，故点C1、C2的坐标分别为（3，0）、（6，4）.因为△OAB为直角三角形，我们已将当∠C与∠A为对应的直角的对应关系找到了点C1、C2的位置，当∠P与∠A为对应的直角的对应关系时，可以过点P作PC3⊥OB交AB于点C3（图1-2），此时仍有△BPC3∽△BAO，所以又OB=10，AB=8，BP=5所以可求得BC3=AC3=8－=，所以点C3的坐标为（6，）.所以当点C在（3，0）、（6，4）、（6，）位置时，由PC分割得到的三角形与Rt△OAB相似.图2-2AByxO图2-1例2（浙江金华改编）如图2-1，平面直角坐标

4、系，直线AB与x轴相交，y轴分别交于点A(3,0)，B(0，)两点，试问：在第一象限内是否存在点P，使得P，O，B为顶点的三角形与△OBA相似。如果存在，请你求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由。第3页共3页[分析]：我们知道全等是相似的特例，因此（1）当∠OBP＝Rt∠时，如图2-2在过点B且垂直于OB的射线上截取BP1=OA，则有①△BOP1∽△OBA（△BOP1≌△OBA），此时∠BP1O＝∠BAO=30°，∴BP1=OB=3，∴（3，）．②若△BP2O∽△OBA，则∠BOP2＝∠BAO=30°，BP2=OB=1

5、．∴（1，）．　　图2-3（2）联想到“直角三角形斜边上的高将原三角形分成2个三角形原三角形相似”，则有当∠OPB＝Rt∠时③可过点O作OP3⊥BC于点P(如图2-3)，此时△P3BO∽△OBA，∠BOP3＝∠BAO＝30°，过点P3作P3M⊥OA于点M．在Rt△P3BO中，BP3＝OB＝，OP3＝BP3＝．∵在Rt△P3ＭO中，∠OP3M＝30°，∴OM＝OP3＝；P3M＝OM＝．∴（，）．　　图2-4④在图2-3中满足的是∠B与∠B为对应角，但也可能是∠OBP与∠A为对应角，此时我们不妨以点B为顶点，BO为一边作∠OBP=30°=

6、∠A，在过点O作BP的垂线交于点P4，则有△P4OB∽△OBA(如图2-4)，∵∠OBP=∠BAO＝30°，容易证明∠P4OM＝30°．　　　　∴　P4M＝OM＝×=．∴　（，）综合得，符合条件的点有四个，分别是：（3，），（1，），（，），（，）．尝试探究：1、在直角坐标系中有两点A(4，O)，B(0,2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为_________或________时，使得由点B,O，C组成的三角形与△AOB相似。(至少找出两个满足条件的点的坐标)DCBAl4l3l2l1提示：由于题目中两个三角形的相似，未

7、给出确定的相似关系，因此有两种可能△BOC∽△AOB或△COB∽△AOB，这样可得出两个不同的关于边的比例关系，即或，结合OA=4,OB=2．可求出OC=1，或4；又点C在x第3页共3页轴上(C与A不重合)，因而点C的坐标为(一1，O)、(1，O)、(一4,0)、(4，O).2、(06黑龙江齐齐哈尔市)在△ABC中AB>BC>AC，D是AC的中点，过点D作直线l，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线l有___条.答案：4条第3页共3页