一题多解探究“求平面夹角”问题

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1、一题多解探究〃求平面夹角"问题■中学数学论文一题多解探究〃求平面夹角〃问题樊木华(西安高新第一中学高中部，陕西西安710075)摘要：〃一题多解〃能很大程度地发挥每一题的作用z以培养学生主动探究问题的意识。本文通过一道立体几何试题为例，阐述如何调动学生的创新思维能力和主动探究问题的意识。关键字:—题多解；平面；夹角中图分类号:G633文献标识码：A文章编号:1005-6351(2013)-02-0026-02―、问题的提岀很多同学认为只有多做题才能学好数学，其实这是一个误区，因为人的精力和时间是有限的，而且学的不仅是数学一科，笔者认为学生要提高解题能力”不仅要重视做题数量

2、而更应重视解题质量，最大限度地发挥每一题的作用，举一反三,以一当十,触类旁通。〃一题多解〃训练是个有效的途径，使我们进一步开阔思维空间,并能从中选优，节省时间，下面笔者在本校的学生复习立体几何时选了这道题，引导同学对这道试题的解法进行了探究。如图所示,在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA丄平面ABCD,点E在线段PC上”PC丄平面BDE。(1)证明：BD丄平面PAC;(2)若PA",AD=2,求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值。(2012年广东高考数学理科第18题改编)二、课堂探究本题选取四棱锥,底面是矩形，是学生比较熟悉的载体。图形中有较多的垂直关系，学生

3、通过线面垂直判走走理可以轻松地拿下第一问。可是第二问,大部分学生沉思起来,笔者留足时间,学生探究讨论。学生1:我用的是空间向量法，以A为原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，由（1）得BD丄AC,则AB二AD二2,故P(0,0J),B(2,0,0),C(2,2,0),设平面的法向量;=(a,b,c),In•HC=0由L;•疋=o，即严°取o=1,得7i=（1,0,2）,由（1）可知平面PAC的法向量肋=（-2,2,0）,故平面PAC与平面PBf的夹角的余弦值为"•丽/T0•~BD-10'老师：学生1建立坐标系的想法自然、常规，可以

4、看岀学生1善于分析问题,那么还有其它的解法吗？学生2:我用的是几何解法。连接AC与BD，相交于点O,由（1丄AC,贝［JAB二AD二2•/PC丄平面BDE••.BE丄PC,OE丄PC/.zBEO是平面PAC与平面PBC夹角在厶PBC中，PB=后、BC=2,PC=3=厶PBC=90°=BE=BPxBC二2圧PC二丁在Rt/^BOF中,B0=®()E=VBF2-BO2=y-老师：不难看出学生2的空间想象与推理论证能力是十分不错的,那么还有其它的解法吗?学生3：我用的是射影面积法，利用公式“s&=孕来求两个平面夹角的余弦值。由（1）可知出D丄平面PAC,点B在平面PAC的投影是

5、点0ssJx1x^2/iox2X5/5故平而PAG与平面PBC的夹角的余弦值为兰丄老师：可以看出学生3的知识面比较广,连射影面积法求两个平面的夹角都知道，那么还有其它的解法吗?学生4:我用的是我的独创：双距离法过A作PC的垂线AM,垂足为M,过A做平面PBC的垂线AN,垂足为N,在RiHABC中*“肚二斗PC・AM=-^-PA・AC・••4~x3xAM=亠x1x2厲解得AM=斗乙乙J•.•在四面体PABC中耳亦二*»皿・AN冷S/・PA-4-x-J-x2Xa/5"x4/V=4-x^-x2x2x1•r在RtJ^AMN中.ANLMN/.cosZL/LWA10故平面PIC与平

6、而PBC的夹角的余號值为晋.老师：太好了，学生4对本题的独特的解法,大家来点掌声，这就是求异思维能力与创新能力，那么还有其它的解法吗？学生5:我引用学生4的作法，连接AC与BD,交点于0过B作PC的垂线・・・BD丄平面PAG・•・由三垂线定理可知：PC丄平面川/0•则乙4H0为二面角B-PC-A的平面角••・在Rt^PBC中，S、咏=4~PB・BC=--PC・BH.•・4-x6x2=4-x3解得=学•・•BD丄平面PAC,/.BO丄平面PAG・•・B到平面PAG的距离为BO卑=迈•・•在Rt^BHO中，BO丄HOsin^BHOcosZ-1A/Ayio"kT故平面PAG与

7、平面PRC的夹角的余弓攵值为二挛.老师：学生5能举一反三、事半功倍。通过上述五位同学的解答中,此题解法思路各有千秋’但最终殊途同归。本题承载着较多的知识与方法，给解题提供了广阔的思维和解题空间,命题立意深远,涵盖方法多,需要解题者具备扎实的数学基本功与数学智慧。它可以调动我们多角度思考，多层面入手，起到以当十、事半功倍的作用，进一步总结提炼，还可以更上一层楼，做到优化解题方法，提升思维品质。三、教学反思开展一题多解探究，有助于培养学生思维的发散性、深刻性、变通性、灵活性和开放性等多种思维品质，其具体作用表现在以下几方面:(-)