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1、异面直线所成的角异面直线所成的角(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.(2)取值范围：0°＜θ≤90°.(3)求解方法:根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ；解含有θ的三角形，求出角θ的大小.练习１.如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA=a，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC（1）求三棱锥P－ABC的体积（2）求异面直线PA与BD所成角余弦值的大小。2.在四棱锥O—ABCD中，底面ABC
2、D是边长为1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点（1）证明：直线MN∥平面OCD（2）求异面直线AB与MD所成角的大小练习3.在四面体ABCD中，E、F分别是线段AD、BC上的点，==，AB=CD=3，EF=，求AB、CD所成角的大小.练习PABCD4.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2.（1）求异面直线PA与BC所成角的正切值；练习5.四棱柱的底面是平行四边形,且,,,为的中点,平面.(1)若,试求异面直线与所成角的余弦值；练习6
3、.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=2，E是PB的中点，F是AD的中点．⑴求异面直线PD与AE所成角的正切值；DEFBCPA31【解析】（1）（2）设AB＝a,由点O、D分别是AC、PC的中点知：为所求异面直线PA与BD所成角.又OP⊥底面ABC，.从而.即异面直线PA与BD所成角余弦值的大小为。2【解析】（1）证明：取的中点为，连接。因为M为OA的中点，所以ME∥AD，且ME=0.5AD,又因为N为BC的中点。，所以NC∥AD，且NC=0.5AD,所以ME∥NC,且ME=NC。
4、所以四边形MECN为平行四边形。所以MN//CE……………4分又,所以MN∥平面OCD。……………6分（2）,为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）……………8分做AP垂直于CD于P,连接MP，因为，所以CDMP,因为∠ABC=，所以.因为MD=，所以，所以。所以AB与MD所成角的大小为600.……………12分3.【解析】如图所示，在线段BD上取一点G，使=.连接GF、GE、EF.===，GE∥AB，且GE=AB=2，同理，GF∥CD，且GF=CD=1，在△EGF中，cos∠EGF==-,∴∠EGF=120°.由GF∥CD,GE
5、∥AB可知,AB与CD所成的角应是∠EGF的补角为60°4.【解析】(1)找出线面角是求解的关键，因为,所以可知为异面直线与所成的角.如图，PABCDEE在四棱锥中，因为底面是矩形，所以且,又因为,故为异面直线与所成的角.在中，,所以，异面直线PA与BC所成角的正切值为2.(2)证明平面PDC即可.（3）在平面内，过点P作交直线CD于点E，连接EB.因为平面平面,故平面，由此得为直线PB与平面所成的角.余下的问题是解三角形求角.在平面内，过点P作交直线CD于点E，连接EB.由于平面平面，而直线CD是平面与平面的交线，故平面，由此得
6、为直线PB与平面所成的角.在中，由于可得.在中，，由平面，得平面，因此,在中，.3在中，所以直线PB与平面ABCD所成的角的正弦值为.5.(Ⅰ)依题意,,所以是正三角形,又所以,2分因为平面,平面,所以3分因为,所以平面4分因为平面,所以平面平面5分(Ⅱ)取的中点,连接、,连接,则所以是异面直线与所成的角7分因为,,所以,,所以9分6.【答案】（Ⅰ）连结BD∵PD⊥平面ABCD，∴平面PDB⊥平面ABCD，过点E作EO⊥BD于O，连结AO.则EO∥PD，且EO⊥平面ABCD.∴∠AEO为异面直线PD，AE所成的角…………3分∵E是
7、PB的中点，则O是BD的中点，且EO=PD=1.在Rt△EOA中，AO=，.3
