==数值分析复习题整合

《==数值分析复习题整合》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、第1章解线性方程组的直接法三、重、难点分析例1用列主元消元法的方程组注意：每次消元时主元的选取是各列中系数最大的。解第1列主元为3，交换第1、2方程位置后消元得，第2列主，元为交换第2、3方程位置后消元得回代解得例2．将矩阵A进行三角分解（Doolittle分解,Crout分解,LDU分解）其中说明：一般进行矩阵的三角分解采用紧凑格式。即应用矩阵乘法和矩阵相等原则进行矩阵的三角分解（或代入公式求得相应元素）。在分解时注意矩阵乘法、矩阵求逆等代数运算。解：A=LUL=[100;1/210;-1/2-

2、21]U=[42-2;01-1;0010]则矩阵的Doolittle分解为因为对角阵，则所以矩阵的LDU分解为矩阵的Crout分解为例3用LU分解求解方程组注意：消元过程是解方程组，和回代过程是解方程组。解：（1）将矩阵进行三角分解，由上例得：矩阵的三角分解为（2）解方程组（3）解方程组所以X=[20.90.9]第2章解线性方程组的迭代法三、重、难点分析例1已知向量X=（1，-2，3）,求向量X的三种常用范数。解，例2证明证明因为所以例3已知矩阵，求矩阵A的三种常用范数。解，，例4已知方程组（1）

3、写出解此方程组的雅可比法迭代公式（2）证明当时，雅可比迭代法收敛（3）取,，求出。解（1）对，从第个方程解出，得雅可比法迭代公式为：（2）当时，A为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法收敛。（3）取，由迭代公式计算得，，，，则=（，，）例5用高斯——塞德尔迭代法解方程组（1）证明高斯——塞德尔迭代法收敛（2）写出高斯——塞德尔法迭代公式（3）取，求出解（1）因为A为严格对角占优矩阵，故高斯——塞德尔迭代收敛。（2）对，从第个方程解出，得高斯——塞德尔法迭代公式为（3），，，，则=（，，3113/31

4、25）第3章矩阵特征值与特征向量的计算三、重、难点分析例1已知，用乘幂法求说明：乘幂法是求实方阵A的按模最大特征值及其特征向量的一种迭代方法。逆幂法是求实方阵A的按模最小特征值及其特征向量的一种反迭代方法。注意：初始值不能取零向量。解取，用乘幂法迭代公式，例2用雅可比法求的全部特征值与特征向量。注意：平面旋转矩阵R的元素的排列顺序和旋转角的确定。解雅可比法是求对称矩阵的全部特征值与特征向量的变换方法。，，，所以，,,第4章函数插值与曲线拟合-new三、重、难点分析例1已知用线性插值计算，并估计误差

5、。解取插值节点x0=4,x1=9，两个插值基函数分别为故有误差为例2已知函数数值表为123137用抛物插值法求近似值。解作差商表：一阶差商二阶差商112323741代入牛顿插值多项式得：故例3已知数表：1233.87.210用最小二乘法拟合一次多项式。解设最小一次式为，由系数公式得：于是有法方程组解法方程组得所以最小二乘一次式例6已知插值基函数，证明：当时，证明：令，则有因为，所以。第5章数值积分-new三、重、难点分析例1在区间上，求以为节点的插值求积公式。解：由系数计算公式得所以求积公式为例2

6、求积公式的代数精确度为（）。解由于此公式为3个节点的插值求积公式，代数精度至少为2。令，代入插值求积公式得左边=，右边，所以左边=右边再令，代入内插求积公式得左边=，右边=所以左边右边所以此公式具有3次代数精度。例3用梯形公式和的复合梯形公式求积分，并估计误差。解（1）梯形公式因为，，代入梯形公式得则（2）复化梯形公式因为和复化梯形公式得因为，，所以注意：在用复合梯形公式和复合Simpson公式计算积分时注意系数的排列。例4用Simpson公式和复合Simpson公式计算积分，使误差小于解（1）S

7、impson公式因为，，代入辛卜生公式得4（2）复合抛物线公式因为解不等式得，用，复化辛卜生公式计算得例5设为插值求积公式系数证明证明：设，因为所以。第6章非线性方程求根-new三、重、难点分析例1证明计算的切线法迭代公式为：并用它求的近似值（求出即可）解（1）因计算等于求正根，，代入切线法迭代公式得(2)设，因所以在上由，选用上面导出的迭代公式计算得例2用二分法、割线法求的最小正根（求出即可）。解（1）用割线法因，，故，在上，，，，取，，用双点弦迭代公式，计算得例3求方程的根时，用牛顿法求具有（

8、）收敛速度。用割线法法求具有（）收敛速度。第7章常微分方程数值解法三、重、难点分析例1用欧拉法，预估—校正法求一阶微分方程初值问题，在（0.1）0.2近似解解（1）用欧拉法计算公式，计算得（2）用预估—校正法计算公式计算得，例2欧拉法的局部截断误差的阶为。改进欧拉法的局部截断误差的阶为。三阶龙格-库塔法的局部截断误差的阶为。四阶龙格-库塔法的局部截断误差的阶为。