概率论与统计4_2 中心极限定理

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1、概率论与数理统计一、问题的提出二、中心极限定理第二节中心极限定理一、问题的提出由上一节大数定理,我们得知满足一定条件的随机变量序列的算数平均值依概率收敛,但我们无法得知其收敛的速度,本节的中心极限定理可以解决这个问题.在实际中,人们发现n个相互独立同分布的随机变量之和的分布近似于正态分布,并且n越大,近似程度越好.定理4.8林德贝格-列维中心极限定理二、中心极限定理且具有数学期望与方差设随机变量X1,X2,…,Xn相互独立,服从同一分布,则随机变量EXi,DXi20i=1,2,…,n的分布函数Fnx对于任意x满足2注1近似程度越好.n越大,3的和近似服从正态分布

2、.定理4.8表明n个相互独立同分布的随机变量一加法器同时收到20个噪声电压Vk解由于VkU0,10,易知k=1,2,…,20.设它们是相互独立的随机变量,例1由林德贝格-列维中心极限定理知近似服从标准正态分布N0,1,于是设随机变量X1,X2,…,Xn相互独立,它们具有数学期望与方差若存在正数,使得当n时定理4.9李雅普诺夫(Liapunov)定理则随机变量的分布函数Fnx对于任意x满足注1定理4.9是独立不同分布情形的中心极限定理,该定理表明:当n充分大时,有而2由定理4.8及定理4.9可以看出,正态随机变量的普遍性及其在概率论中所占有的重要地位.一份考卷由99个

3、题目组成,并按由易到难顺序排列.某学生答对1题的概率是0.99;答对第2题的概率是0.98;一般地,他答对第i题的概率是i=1,2,…,99,假如该学生回答各问题是相互独立的,并且要正确回答其中60个问题以上(包括60)才算通过考试.试计算该学生通过考试的概率是多少?解设例2于是Xi是两点分布:为了使其成为随机变量序列,我们规定从X100开始都与X99同分布,且相互独立,于是另一方面,因为即独立随机变量序列满足李雅普诺夫定理的条件.因此随机变量于是近似服从标准正态分布N0,1.计算得此学生通过考试的可能性很小,大约只有而该学生通过考试的概率应为千分之五可能性.设随机变量Yn服从二项分布

4、Bn,p,则其标准化随机变量的分布函数的极限为定理4.10棣莫佛-拉普拉斯定理证令X1,X2,…,Xn独立,同时服从B1,p分布,且由于EXip,DXip1pi=1,2,…,n,证毕.由定理4.8得注1定理4.10表明正态分布是二项分布的极限3实际应用中当n很大时,分布也称为“二项分布的正态近似”.2与“二项分布的泊松近似”相比较,两种近似都要求n很大.1如果p很小而np不太大时,采用泊松近似;2如果np5和n1p5同时成立时,采用正态近似.下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.某车间有200台机床,它们独立地工作着,开工解设开工率均为

5、0.6,开工时耗电均为1000W,问供电所至少要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产.i=1,2,…,200,例3问题是求r,使由棣莫佛拉普拉斯中心极限定理,有所以r=141.该结果表明,若供电141KW,那么由于供电不足而影响生产的可能性小于0.001.中心极限定理独立同分布情形独立不同分布情形二项分布的正态近似内容小结再见例1-1设随机变量X1,X2,…,Xn相互独立,且Xi在区间1,1上服从均匀分布i=1,2,…,n,试证当n充分大时,随机变量近似服从正态分布并指出其分布参数.证记备用题因为X1,X2,…,Xn相互独立,所以Y1,Y2

6、,…,Yn相互独立,根据定理4.8故Zn近似服从正态分布某汽车销售点每天出售汽车数服从参数为2的泊松分布.若一年365天都经营汽车销售,且每天出售的汽车是相互独立的,求一年中售出700辆以上汽车的概率.解记Xi为第i天出售的汽车数量,利用林德贝格-列维中心极限定理,可得则一年售出700辆以上汽车的概率近似为0.8665.例1-2某餐厅每天接待400名顾客,设每位顾的消费额(元)服从(20,100)上的均匀分布,且顾客的消费额是相互独立的.试求:(1)该餐厅每天的平均营业额;(2)该餐8厅每天的营业额在平均营业额760元的概率.而该餐厅每天的营业额为解设Xi为第i位顾客的消费额,Xi~U20

7、,100.所以EXi60,DXi16003.例1-3(1)该餐厅每天的营业额为(2)利用林德贝格-列维中心极限定理,可得这表明:该餐厅每天的营业额在23240到24760之间的概率近似为0.90.某人钓鱼平均每次钓到2kg,方差2.25kg2.问:至少钓多少次鱼,才能使总重量不少200kg的概率为0.95?解设此人共钓n次,各次钓到的鱼的重量为随机变量Xi,则EXi2,DX