第2,3章习题课

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1、概率论与数理统计随机变量及其概率分布习题课第9讲随机变量及其概率分布习题课教学目的：通过对随机变量(一维,二维为主)及其概率分布的归纳总结,及典型例题的分析讲解,使学生对概率部分内容有较深的理解与认识.教学重点：随机变量(离散型,连续型),分布函数,六个重要的分布(两点,二项,Poisson,均匀,指数,正态),多维随机变量(二维为主),随机变量的独立性,随机变量的分布函数.教学难点：随机变量函数的分布,边际分布,条件分布,随机变量的独立性.一维随机变量及其分布函数.离散型随机变量及其概率分布列.连续型随机变量及其概率密度函数

2、.常用的随机变量.二维随机变量(X,Y)及其分布函数F(x,y).二维随机变量的边际分布函数及边际概率密度.二维随机变量的条件分布函数及条件概率密度.(*)随机变量的独立性.随机变量函数的分布.知识要点回顾：袋中有5球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3个,用x表示取出的3球中编号最大的号码,试求x的概率分布.解答随机变量及其概率分布典型例题某汽车占从上午7时起每15分钟发一般车,即7:00,7:15,…始发,如果乘客在7:00-7:30任一时刻到达车站,试求乘客等候时间不超过5分钟的概率.解答随机变量的概率密度为,求(1)系

3、数;落在内的概率;的分布函数.解答4.设一只昆虫所产虫卵数服从Poisson分布.而每个虫卵发育为幼虫的概率为,且每个虫卵是否发育为幼虫始相互独立的,求一只昆虫所生幼虫数的概率分布.解答5.设随机变量的概率密度为若,求的取值范围.解答6.设二维随机变量的联合密度为.求(1)常数;(2)分布函数;(3)边际分布函数和边际概率密度;(4)概率.解答7.设二维随机变量的联合概率分布为.求(1);(2)的概率分布.解答8.设的概率分布密度,求的概率分布密度..解答9.设某班车站上客人数服从参数为的Poisson分布,每位乘客在中途下车的

4、概率为,且中途下车与否相互独立,以表示在中途下车的人数求:(1)在发车时有个乘客的条件下,中途有人下车的概率.(2)二维随机变量的概率分布.解答随机变量及其概率分布典型例题解析解:1.袋中有5球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3个,用X表示取出的3球中编号最大的号码,试求X的概率分布.X的可能取值为3,4,5.只有取出的3球号码分别时1,2,3时(此时只有一种取法),事件{X=3}才发生,由古典概型:类似地制成表格有:此即X的概率分布.返回若将7:00作为计算时间起点,则乘客到达时刻服从均匀分布:,为使等候时间不超过5分钟,

5、当且仅当乘客在7:10到7:15之间或7:25到7:30之间到站,故所球概率为:解:2.某汽车站从上午7时起每15分钟发一般车,即7:00,7:15,…始发,如果乘客在7:00-7:30任一时刻到达车站,试求乘客等候时间不超过5分钟的概率.返回返回随机变量的概率密度为,求(1)系数;(2)落在内的概率;(3)的分布函数.解:得当时,当时,当时,返回随机变量及其概率分布典型例题解析4.设一只昆虫所产虫卵数服从Poisson分布.而每个虫卵发育为幼虫的概率为,且每个虫卵是否发育为幼虫始相互独立的,求一只昆虫所生幼虫数的概率分布.解:

6、按题意注意到,否则时,由此得:由此可见:.时返回随机变量及其概率分布典型例题解析解:5.设随机变量的概率密度为,若,求的取值范围.先求出的分布函数,故,即,从而时时时时时6.设二维随机变量的联合密度为.求(1)常数;(2)分布函数;(3)边际分布函数和边际概率密度;(4)概率.解:时返回边际数边际概率数返回7.设二维随机变量的联合概率分布为.求(1);(2)的概率分布.为所求的的概率分布.解:由的联合概率分布可得:解:先求的分布函数:,当时当时,利用极坐标计算当时,从而的分布密度为(注:该分布称为瑞利(Rayleigh)分布)8

7、.设的概率分布密度,求的概率分布密度.返回解:(1)发车时有人,中途下车人数为的条件概率,服从二项分布.9.设某班车站上客人数服从参数为的Poisson分布,每位乘客在中途下车的概率为,且中途下车与否相互独立,以表示在中途下车的人数求:(1)在发车时有个乘客的条件下,中途有人下车的概率.(2)二维随机变量的概率分布.返回