6-2.余弦,正切,余切函数图象和性质(15

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1、标准教案首页编号学科数学第六章：三角函数的图象和性质第2节：余弦函数的图象和性质教研组长审批签字授课时数4授课时间6.8-9授课班级教材分析1．复习函数的性质．2．研究正弦函数的性质．3．类比正弦函数的性质，请学生写出余弦函数的性质．4．两个函数的性质比较．5．课堂练习．教学目标1．掌握正弦函数、余弦函数的性质．2．通过学习正弦函数、余弦函数的性质，培养学生类比的学习方法和数形结合的思想．重点、难点和关键重点是正弦,余弦函数的性质．难点是函数的周期性．授课方式、方法及手段讲练结合首先研究正弦函数的性质，在讲完正弦函数性质的基础上，引导学生用类比的方

2、法写出余弦函数的性质，可以加深他们对两个函数的区别与联系的认识课外作业教材P178习题1-5教学回顾由学过的函数的定义域、值域、最值、奇偶性、增减性、对称性等．来引导出本节的知识内容。教学方法、过程及主要内容教学意图时间一、复习函数的性质以前我们对函数性质的研究主要有以下几个方面：函数的定义域、值域、最值、奇偶性、增减性、对称性等．二、正弦函数和余弦函数的性质（一）正弦函数的性质讨论函数性质时要注意观察函数图象，所以在研究正弦函数的性质前，先画出y＝sinx的图象．（画此图象时，为了观察准确，应多画几个周期．）从图象上可以观察出：1．定义域：x∈R

3、．2．值域：y∈［-1，1］3．周期性：正弦函数y=sinx是周期函数．2π是它的最小正周期，2kπ（k∈Z，k＝0）都是它的周期．4．增减性：从图象上可以看出正弦函数在整个实数域上不是增函数，也不是减函数，但具有增减区间．引导学生从图象上先标出一个增区间，5．最值：最大值为1，最小值为-1，但取得最值的时刻不唯一．例取到最小值．函数值取最值．而如前面讨论的正弦函数取得最大值时，对应的自变量x的值却不唯一，这从正弦函数的周期性容易得到解释．6．奇偶性：正弦函数的图象关于原点中心对称，从中可以看出正弦函数是奇函数．这点可以用代数方法证明如下：设f（x

4、）=sinx．因为sin（-x）=-sinx，即f（-x）=-f（x），由奇函数定义知正弦函数是奇函数．7．对称性：从前面的讨论已经知道正弦函数的图象是中心对称图形，但除原点外正弦函数图象还有没有其它的对称中心呢？（引导学生将y轴左移或右移7π个单位，2π个单位，3π个单位，……即平移kπ个单位）正弦函数图象的对称中心也可以是点（0，0），点（π，0），点（2π，0），……即点（kπ，0），k∈Z．再引导学生仔细观的，这是由它的周期性而来的．在较为详细地研究了正弦函数的性质后，可以引导学生用类比的方法，写出余弦函数的性质，然后由教师给予订正．（三）

5、、余弦函数的性质画出y＝cosx图象．1．定义域：x∈R．2．值域：y∈［-1，1］．3．周期性：余弦函数y＝cosx是周期函数，最小正周期为2π．T=2kπ（k≠0，k∈Z）都是它的周期．4．增减性：从余弦函数图象上可以看出，余弦函数在整个实数域上不具备单调性．但具有无数个单调区间，当x∈［2kπ，π＋2kπ］（k∈Z）时，y随x的增大而减小；当x∈［π＋2kπ，2π＋2kπ］（k∈Z）时，y随x的增大而增大．5．最值：当x=2kπ（k∈Z）时，y取最大值1；当x＝2kπ＋π（k∈Z）时，y取最小值-1，即当x＝kπ（k∈Z）时，y取得最值．6．

6、奇偶性：余弦函数图象关于y轴对称，从中可以看出余弦函数为偶函数，这可通过cos（-x）=cosx来证明．（k∈Z）都是对称中心；又是轴对称图形，所有直线x=kπ，k∈Z都是对称轴．至此，我们对正弦函数、余弦函数的性质已有所了解．下面换个角度进行思考．当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后，会发现它们有很多共同之处．我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉，会发现它们其实都是同样形状的曲线，如图5．所以它们的定义域相同，都为R．值域也相同，都是［-1，1］．最大值都是1，最小值都是-1，只不过由于y轴放置的位置不同，使取得最大（或最小）值的时刻不同．它

7、们的周期相同，最小正周期都是2π．它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形，且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心，以过最值点且垂直于x轴的直线为对称轴．但是由于y轴的位置不同，对称中心及对称轴与x轴交点的横坐标也不同．它们都不具备单调性，但都有单调区间，且都是增、减区间间隔出现．也是由于y轴的位置改变，使增减区间的位置有所不同．也使奇偶性发生了改变．由此可见，图象的平移变换对函数的性质会产生影响．三、课堂练习例1 说出y=sinx（x∈R+）的性质．解 先画出函数图象，再根据图象进行分析．（注意此函数的定义域对图象的影响）由图象可知，定义域：

8、x∈R+．值域：y∈［-1，1］．奇偶性：从图象上可以看出它非奇非偶．另外，定义域的不对称性也决定了它既非奇也非偶．周期性