函数求导运算及导数简单应用

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1、年级高二学科数学版本北师大版（理）内容标题选修2-2导数计算（3导数计算4.1导数加法与减法法则+5简单复合函数求导法则）编稿老师胡居化【本讲教育信息】一.教学内容：导数计算二.教学目标：（1）掌握简单函数的定义求导的方法。理解导数与导函数的区别。（2）掌握导数运算加、减、乘、除及复合函数求导运算法则及函数求导公式的应用。（3）体会化归数学思想、方程的数学思想、分类讨论的数学思想的应用。三.教学重、难点：重点：函数求导的运算及导数的简单的应用难点：复合函数求导。四.知识要点分析：1.简单函数的定义求导的方法（一差、二比、三取极限）（1）求函数的增量；（2）求平均变化率。（3）取极限

2、求导数2．导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。函数在某一点的导数就是导函数，当时的函数值。3．常用的导数公式及求导法则：（1）公式①，（C是常数）②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩（（2）法则：，第9页版权所有不得复制4.复合函数求导：（1）复合函数定义：对于函数y=f（u）和u=，给定x的一个值，就得到u的一个值，进而确定y值，这样y可以表示成x的函数，称这个函数是y=f（u）和u=的复合函数。记为：，其中u是中间变量。（2）复合函数求导法则：5．求曲线的切线方程：（1）所给的点P是切点求切线方程的方法：第一步求切线的斜率，第二步：利用点斜式写出切线方程（2）所给的点P不是切点求切线方程的方法

3、：第一步设切点坐标，第二步求切线斜率，然后写出切线方程，第三步：把点P代入切线方程（注意:条件的应用）【典型例题】考点一：利用定义求简单的函数的导数例1.求函数的导数分析：先求，再求，注意分子或分母有理化的应用。然后取极限。解：故注：由知，曲线上的每一点的切线的斜率都大于零。例2.一半径为rcm，高为hcm的倒立圆锥容器，若以n的速度向容器注水，求液面高度的变化率。分析：本题是导数定义应用的实际问题，可以先求出液面高度y与时间t的函数关系式，由导数的物理意义知：所求的变化率是液面高度h，关于时间t的导数。解：设在ts时水面的高度为ycm，水面半径是x，（如图）则有，此时水的体积是，

4、而t第9页版权所有不得复制s注入水的体积是tn，（其中：都是常数）设，则=M=M=M·根据导数的物理意义知：水面上升的速度v==考点二：导数的计算：例3.求下列函数的导数（1）（2）（3）分析：（1）本题先化简再求导数，即但在化简时注意变换的等价性。（2）先把，再求导。也可以不化简利用积的导数运算法则求导。（3）利用复合函数求导。设，则则解：（1）。（2）==第9页版权所有不得复制=考点三：导数在求切线方程方面的简单的应用例4.求过点P（1，0）的曲线的切线方程分析：显然P点不在曲线上，故要设出切点坐标，根据导数的几何意义知：过Q点的切线的斜率是，由点斜式写出切线方程（含有a），因

5、切线过P点，可求a值，从而可求出过P点的切线方程。解：设切点，则过Q点的切线的斜率所以过P，Q两点的切线方程是：―――――――（1）由于P（1，0）在切线上，故：把代入（1）得：所求的切线方程是y=0或27x－4y－27=0例5.已知函数直线（1）求a的值；（2）是否存在k值使直线m是曲线f（x）和g（x）的公切线，若存在求出k值，若不存在说明理由。分析：（1）由求a的值。（2）假设存在k值使m是两曲线的公切线，先求当直线m是曲线g（x）的切线方程时，求出切线方程。然后验证所求的曲线g（x）的切线是否是f（x）的切线，若是可以求出k值。解：（1）此时（2）直线m：y=kx+9过定点

6、P（0，9），当直线m是曲线g（x）的切线时，设切点为Q（，过P，Q点切线的斜率k=，所以：此时直线m（过Q点切线）可以写成：――――――――（1）由于直线m过定点P（0，9）代入（1）得：a=1或a=－1当a=1时，直线m（即过Q点切线方程）：y=12x+9，此时k=12当a=－1时，直线m（即过Q点切线方程）：y=9，此时k=0下面验证：y=9及y=12x+9是否是曲线f（x）的切线?（i）当直线y=9也是曲线f（x）的切线时，设切点的横坐标是M（b，第9页版权所有不得复制，所以过M点的切线斜率k=切线方程是：―――――――――（2）即有：=0把b=－1代入（2）得切线方程是：

7、y=－18;把b=2代入（2）得切线方程为:y=9故y=9是两曲线f（x），g（x）的公切线（ii）当直线y=12x+9也是曲线f（x）的切线时，设切点是N（c，切线方程为过N点的切线的斜率k=把c=0，c=1代入（3）得此时的切线方程是：y=12x－11，y=12x－10，显然是矛盾的。综合上述知：存在k=0，公切线方程是y=9.【本讲涉及的数学思想与方法】本讲主要讲述了导数的定义、导数运算及其简单的应用，在应用这些知识的过程中，体现了化归的数学思想（如：例3，（1