线性规划问题最优解求法及数据分析

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1、线性规划问题最优解求法及数据分析摘要：在中学数学新课标中，对线性规划的求解方法及相应结果的分析提出了一定的要求。主要讨论两个变量线性规划问题的最优解求法，并举出生活中的例子加深理解。通过对结论中的数据进行分析，反映出各个量在实际问题中的地位和作用。关键词：数学问题；图解法；函数线性规划的应用在大学数学分支运筹学学习中占据很大的比例，它可以帮助人们有效地进行科学管理。它是运筹学的一个重要部分，也是现代科学管理的重要手段之一。求目标函数在约束条件下的最值问题，统称为LP问题，使目标函数取得最值的解叫最优解。本文主要是针对中学数学中线性规划问题的类型，讨论在目前中学现有解题方法图解

2、法的基础上，对实例进行分析并用图解法求出最优解，并在最优解的数据基础上讨论某些变量值改变时相应结果的变化。图解法的一般步骤是：（1）建平面直角坐标系；（2）找到可行的区域，作目标函数等值线；（3）移动等值线到可行区域的边界，知道函数与可行区域的交点就是最优解。例1.解线性规划：maxz=700x+l200y4x+5y2003x+1Oy300x,y3^0首先，观察题目要求，在这个问题中目标函数是z=700x+1200y,要求在约束条件(1)4x+5y彡200;(2)3x+10y<300下求出最大值。我们己经知道题目的要求和目的，根据题目的约束条件画出图1。结论分析：(1)如果现

3、在改变例1中的约束条件，将原来约束条件的小于等于全部改为大于等于，这时可行域由原来的封闭区域A变为无穷区域B，此时maxz无最大值解，也就是说z可以取得无穷大。但是如果将目标函数由求最大值改为最小值，约束条件不变，那么(20，24)就是minz的唯一最小值解。(2)将对应x=20，y=24代入不等式，发现约束条件正好变为等号，说明资源x，y是短缺的，从经济角度考虑的话，就是可以通过继续增大x，y，从而增加产出z。(3)如果第一个约束条件改变为4x+5y<201，通过画图可发现对应最优解变为(20.4,23.88)，对应z值增大136，则可认为136是约束条件：(1)对应资源对

4、目标函数的边际贡献。于是可以推出当4x+5y<201时目标函数z的值就相应增加1360。同理，可以找出约束条件（2）的边际贡献。例2.某地需要甲、乙两种优质桌，每张桌子要木料和油漆两个步骤才算完工。甲乙分别用lh和2h做成一张桌子，要3h和lh油漆桌子。木工和油漆工工作不多于8h和9h，工厂造一张甲乙桌分别获利2000元和3000元，现工厂想要获得最大利润，每天应生产甲乙桌子各多少张？注意：在列本题的模型时有一个小小的技巧，就是对单位的处理上，如果将此处的2000元和3000元分别处理为2千元和3千元，那在画等值线的时候能够大大地简化计算。解：设工厂每天生产甲类桌子x张，乙类

5、桌子y张，则x、y满足条件：maxz=2x+3yx+2y^83x+y<9x,yEN由于本题中要求，x，y取整数，所以也是整数规划类型，但是我们也可以将整数约束条件先去掉，做出图2:解法（2）:在如上可行域中找出所有的整数解（1，0），（2，0），（3，0），（1，1），（1，2），（1，3）（2,1），（2，2）：（2，3），然后比较对应z值大小可以直接求出最大值点位（2，3）。结论分析：将变量值代入不等式，发现约束条件正好变为等号，说明资源x，y是短缺的，从经济角度考虑的话，就是可以通过继续增大x，y，从而增加产出z。但由于此题中的变量要求取整，故对应资源只增加单位1时对整

6、体结果z未必会产生影响。另外，在讨论约束条件时，要将x，y当成有相互制约关系的整体变量讨论，否则分别讨论就容易得出错误结论。参考文献：［1］钱颂迪.运筹学［M］.清华大学出版社，1990:9-37.P］胡运权.运筹学基础及应用［M］.2版.哈尔滨工业大学出版社，1993：13.