离散鞅论及应用

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1、离散鞅论及应用一、基础定义设为概率空间，整数集合，表示的一个“区间”，指的不间断子集，比如：，等。定义1：设为单调上升（或下降），指，（或）。设为随机变量序列，若关于可测，，称为适可测随机变量。定义2：设为适可测随机变量，若下两条满足：1.，2.。则称为一个鞅。若2改写成，称为下鞅（上鞅），合称为半鞅。定义3设为适可测随机变量，下降，若，且，则称为一个反鞅。命题1.对于区间,为适可测随机变量列，则为一个鞅，当且仅当为一个反鞅。定义4设为适可测随机变量列，，，若，称为一个鞅差。命题2设为上升域（列），下两条成立：（1）若为一个鞅，则为一个鞅差，其中（2）若为一个鞅差，则

2、为一个鞅，其中。简言之，“鞅=鞅差的部分和”。设为一个鞅，为内实值可测函数，问是否是鞅？首先，关于可测，理由：关于可测，假定，，其次，和的关系？若为凸函数，由条件Jensen不等式，表明为一个下鞅。命题3设为适可测随机变量列，为上凸函数，且，，则下两条成立：1若为鞅，则为下鞅。2若为下鞅，为单调不减，则为下鞅。有意思的推论：若为下鞅，则为下鞅；若为鞅，则为下鞅（，假定）。一、鞅的停时定理关于停时，设为上升域列，为取值正整数的随机变量，若对每，均有，称为关于的停时。命题4如果和是两个停时，则，，也是停时。要证明上述命题，需要下面的引理：引理1设为任意的取值于的随机变量，

3、下属三者等价：（1）；（2）；（3）。命题5设是一列关于的鞅，是一个关于的停时，并且有界，，，则，特别地。这个命题是鞅停时定理的一个特殊情况，可以看出，它的条件太强了，实际上我们感兴趣的问题中许多都不满足有界这一严格的条件。假设是一停时并且，也就是说以概率1，可以保证会停止（相对于），但与有界不同的是，并没有确定的使。在这种情况下，何时可以得到的结论呢？考虑停时注意到，从而。可以看出，是一个有界停时（），由上面命题可知。我们希望当时，后面两项趋于0，对于第二项来说，这是不困难的，因为，当，，相当于对限制在一个趋于空集的集合上取期望。容易看出，若要求，就可以保证。第三项

4、就更麻烦一些，当时，第三项并不趋于0。然而如果和满足条件。我们就可以得出结论。定理1鞅停时定理设是一关于的鞅，是停时满足：（1）；（2）；（3）。则有。定理2设是关于的上鞅，是关于的停时，，设存在一非负随机变量，满足，且使得，则有。特别地，若，则有。推论1设是关于的上鞅，是关于的停时，且，则有。我们已经知道对于上鞅，有，此处上鞅停止定理说明档把换为停时时，在附加某些条件前提下，结论也成立。一、一个应用——关于期权值的界设某种股票的每股上市价，以表示第天的开盘价，令，，则有。考虑一种期权，它保证期权持有人可以在一限定的期限内，以预定的价格购入股票。不妨设这一预定的行使期

5、权的价位为1，并假设我们考虑的期权行使期限为无限。若，则期权持有人有可能在第天行使期权，以价位1购入股票，立即以价位抛出，从而获利；若则无法获利。由此，期权持有人在第天的潜在利润为，设贴现率为，将贴现到第1天为，可任取一停时作为行使期权的时刻，我们要寻找的期望的值的上界，即这一期权最高多次潜在利润为多少。为此要对作出一个假设，假定存在使得（1）称为初始每股价格为的期权值。（1）式中的上确界是对一切关于的停时取的。因为满足（1）式，所以该期权值与（1）式中的参数有关。定理3设为以上定义并满足（1）式，，则期权值满足下述不等式。其中（2）证明：证明分为四部分，略。注1：对

6、任意固定，定义，则有（3）则有，若初始每股价格超过，则期权的平均潜在利润至多为。这一值可通过即刻行使期权获得（取）。这表示，一旦单股股票的价格超过，期权持有人就应马上行使他的期权，以期获得最大限度的潜在利润。注2：这个定理是以（1）式作前提的，如果对这个假设存在怀疑，这定理就不适用，但一般来说这一假设是合理的，至于的选取，可以根据以往的经验或者同级方法获得。