第6讲 线性相关

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1、定义设是m个元向量。若存在m个不全为零的数，使，则称向量组线性相关。不线性相关的向量组称为线性无关。例设与是两个2元实向量，则，线性相关与共线。例设与是两个n元向量，则，线性相关与对应分量成比例。例一个向量线性相关。例证明向量组是否线性相关。解设则有15（存在不全为零的使成立它们也使成立，即线性相关齐次线性方程组有非零解。）经验证，方程组有非零解，故线性相关。▌线性无关：不存在不全为零的数，使；对任意不全为零的数，均有；由必可导出。结论：①线性相关齐次线性方程组有非零解；②线性无关齐次线性方程组没

2、有非零解。15例指出向量组的线性相关性。解令，则有。因方程的个数<未知数的个数，故上述齐次线性方程组有非零解。于是，线性相关。▌例已知向量组线性无关。令，问是否线性相关？解令，则有。15因线性无关，故。又上述方程组没有非零解，故。由此得线性无关。▌例在一个向量组中，如果有一个部分组（即由其中一个部分向量构成的向量组）线性相关，则整个向量组也线性相关。例包含零向量的向量组线性相关。例m个n元向量（m>n）线性相关。例已知是三个4维向量，令15证明：若线性无关，则也线性无关。证明：令，则有（1）（2）

3、由式(1)得，（3）已知线性无关，故由式(3)得。所以，线性无关。▌问题(1)由线性相关是否可得出也线性相关？15(1)由的线性相关性能对,的线性相关性做出那些判断？(3)上述讨论是否可在向量个数、向量维数等方面一般化？定理向量组线性相关的充分必要条件是：至少存在一个可有其余向量线性表出。例设是n个n元向量，称之为n元基本向量组，则线性无关；对任一n元向量，均有线性相关，且可由线性表出。定理已知向量组线性无关，而向量组,线性相关，则可由线性表出且表示法唯一。证明,线性相关存在不全为零的数，使。15

4、若，则且不全为零。由此得线性相关，与假设矛盾，故。于是，，即可由线性表出。设，则。因线性无关，故，即。所以，表示法唯一。▌15例已知向量组线性相关，向量组线性无关。问能否由线性表出？证明（法一）因为向量组线性无关，故其部分组也线性无关。由向量组线性相关，所以可由线性表出。（法二）因为向量组线性相关，故存在不全为零的三个数，使。（1）若，则不全为零，并且，由此得线性相关。这与已知条件“线性无关”相矛盾。所以，。于是由（1）式得，即可由线性表出。▌定义设与是两组n元15向量，若每个均可由线性表出，则称

5、向量组可由向量组线性表出。若向量组与向量组可相互线性表出，则称向量组与向量组等价，记为{}{}例讨论下列向量之间的关系：(1)与(2)与例一个向量组可线性表出它的任一个部分组。性质向量组的等价具有(1)自反性：{}{}；(2)对称性：若{}{}，则{}{}；15(3)传递性：若{}{}，{}{}，则{}{}定理设是一组n元向量。若存在另一组n元向量，使(1)可由线性表出(2)则向量组线性相关。推论设与是两组n元向量，若(1)可由线性表出(2)线性无关则。例等价的线性无关向量组包含相同个数的向量。1

6、5§2.2向量组的秩一、向量组的秩例考虑线性方程组（Ⅰ），（Ⅱ）。它们的系数行向量分别如下。这两组向量有不同的线性相关性：线性相关，且任意两个向量都线性相关。在平面上，相互共线。方程组（I）的三个方程确定三条过原点且相互重合的直线。线性相关，但存在两个向量线性无关，例如。在平面上，15不共线。方程组（II）的三个方程确定三条过原点但前两条不平行的直线。由上可知，这两个向量组线性相关程度的不同决定了它们对应的方程组(I)与(II)有不同的性质：对向量组而言，其线性无关的程度为2，而方程组（II）的解

7、中自由未知数的个数为2(未知数个数)-2=0；对向量组而言，其线性无关的程度为1，而方程组（I）的解中自由未知数的个数为2(未知数个数)-1=1。两个辅助概念定义设是m个n元向量。若其中存在r个向量线性无关，但任意r+1个向量都线性相关，则称向量组的秩为r，记为秩{}或r{}。例维基本向量组15的秩为___。例向量组的秩为___。定理向量组线性相关的充分必要条件是：秩{}

8、无关组都等价，等价的向量组的极大无关组也等价。例考虑齐次线性方程组。它的系数矩阵15A的行向量组为。因为秩且线性无关，故是一个极大无关组。所以，均可由线性表出。于是，方程组中后两个方乘可视为多余方程。从原方程组中删去多余方程，得到原方程组的同解方程组。定理若向量组可由向量组线性表出，则秩{}秩{}证明只需证明向量组的极大无关组包含的向量个数不大于向量组的极大无关组包含的向量个数。设是的极大无关组，则15可由线性表出。设是的极大无关组，则可由线性表出。又可由线性表出，故可由线性表出，