集合的概念与运算技巧

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1、集合的概念与运算技巧【命题趋向】　　1.高考试题通过选择题和填空题,以及大题的解集,全面考查集合与简易逻辑的知识,题型新,分值稳定.一般占5---10分.　　2.简易逻辑一部分的内容在近两年的高考试题有所出现,应引起注意.　　【考点透视】　　1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.　　2.了解空集和全集的意义.　　3.了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合.　　4.解答集合问题,首先要正确理解集合有关概念,特别是集合中元素的三要素;对于用描述法给出的集合{x

2、x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素

3、x以及它所具有的性质P;要重视发挥图示法的作用,通过数形结合直观地解决问题.　　5.注意空集的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,如AB,则有A=或A≠两种可能,此时应分类讨论.　　【例题解析】　　题型1.正确理解和运用集合概念　　理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键.　　例1.已知集合M={y

4、y=x21,x∈R},N={y

5、y=x1,x∈R},则M∩N=()　　A.(0,1),(1,2)B.{(0,1),(1,2)}C.{y

6、y=1,或y=2}D.{y

7、y≥1}　　思路启迪:集合M、N是用描述法表示的,

8、元素是实数y而不是实数对(x,y),因此M、N分别表示函数y=x21(x∈R),y=x1(x∈R)的值域,求M∩N即求两函数值域的交集.　　解:M={y

9、y=x21,x∈R}={y

10、y≥1},N={y

11、y=x1,x∈R}={y

12、y∈R}.　　∴M∩N={y

13、y≥1}∩{y

14、y∈R}={y

15、y≥1},∴应选D.　　点评:①本题求M∩N,经常发生解方程组　　从而选B的错误,这是由于在集合概念的理解上,仅注意了构成集合元素的共同属性,而忽视了集合的元素是什么.事实上M、N的元素是数而不是点,因此M、N是数集而不是点集.②集合是由元素构成的,认识集合要从认

16、识元素开始,要注意区分{x

17、y=x21}、{y

18、y=x21,x∈R}、{(x,y)

19、y=x21,x∈R},这三个集合是不同的.　　例2.若P={y

20、y=x2,x∈R},Q={y

21、y=x21,x∈R},则P∩Q等于()　　A.PB.QC.D.不知道　　思路启迪:类似上题知P集合是y=x2(x∈R)的值域集合,同样Q集合是y=x21(x∈R)的值域集合,这样P∩Q意义就明确了.　　解:事实上,P、Q中的代表元素都是y,它们分别表示函数y=x2,y=x21的值域,由P={y

22、y≥0},Q={y

23、y≥1},知QP,即P∩Q=Q.∴应选B.　　例3.若P={

24、y

25、y=x2,x∈R},Q={(x,y)

26、y=x2,x∈R},则必有()　　A.P∩Q=B.PQC.P=QD.PQ　　思路启迪:有的同学一接触此题马上得到结论P=Q,这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,x∈R相同,而没有注意到构成两个集合的元素是不同的,P集合是函数值域集合,Q集合是y=x2,x∈R上的点的集合,代表元素根本不是同一类事物.　　解:正确解法应为:P表示函数y=x2的值域,Q表示抛物线y=x2上的点组成的点集,因此P∩Q=.∴应选A.　　例4(2007年安徽卷文)若,则=()　　A.{3}B.{1}C.D.{-1}　　思路启迪:　

27、　解:应选D.　　点评:解此类题应先确定已知集合.　　题型2.集合元素的互异性　　集合元素的互异性,是集合的重要属性,教学实践告诉我们,集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略,从而导致解题的失败,下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识.　　技巧