02 利用待定系数法因式分解和分式的拆分等

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1、第2讲利用待定系数法因式分解、分式的拆分等一、方法技巧1.待定系数法运用于因式分解、分式的拆分等问题中，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式的充要条件是：对于一个任意的x=a值，都有；或者两个多项式各关于x的同类项的系数对应相等． 2.使用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程（组）；（3）解方程（组），从而使问题得到解决. 例如：“已知，求a，b，c的值．”解答此题，并不困难．只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到a，b，c的值．这里的

2、a，b，c是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法．3.格式与步骤:(1)确定所求问题含待定系数的解析式.上面例题中，解析式就是：(2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程.在这一题中，恒等条件是：(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决.∴二、应用举例类型一利用待定系数法解决因式分解问题【例题1】已知多项式能被整除.（1）求a，b（2）分解因式：【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由条件可知是该多项式的一个二次因式，而该多项式次数为4，故可设，可解出m、n，最后代入即可求出a、b的值.（2）由（1）可得结果试题

3、解析：解：（1）∵多项式能被整除∴设，整理，得∴解得∴a、b的值分别为.（2）考点：1.待定系数法因式分解2.整式乘法3.解方程组.点评：用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值.【难度】一般【例题2】分解因式：【答案】【解析】试题分析：方法一因为，因此,如果多项式能分解成两个关于x、y的一次因式的乘积,那么设原式的分解式是,其中m、n为待定系数.然后展开，利

4、用多项式的恒等，求出m、n的值.试题解析：解：∵，∴设即对比系数，得：由①、②解得：代入③式也成立.∴试题分析：方法二前面同思路1，因为是恒等式，所以对任意的值，等式都成立，所以给取特殊值，即可求出的值.试题解析：解：∵，∴设即 ∵该式是恒等式，∴它对所有使式子有意义的x，y都成立，那么令①令②解①、②组成的方程组，得或把它们分别代入恒等式检验，得∴考点：1.待定系数法分解因式2.解方程组.点评：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验.若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，

5、则说明原式不能分解成所设形成的因式.【难度】较难类型二利用待定系数法解决分式拆分问题【例题3】将分式拆分成两个分式的和的形式.【答案】【解析】试题分析：设，将等式右边通分，再利用分子恒等求出a、b、c的值即可.试题解析：解：设而即比较分子，得解得，.∴考点：分式的恒等变形点评：拆分有理真分式的时候，分母含二次项，则设分子为形式，分母只含一次项，则设分子为常数【难度】较难【例题4】计算：【答案】【解析】试题分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a是整数），所以我们探究其中一个分式，找到相通

6、的规律，从而解题.试题解析：解：我们设而比较分子得：，解得：所以所以，原式=考点：分式计算.点评：在做题的时候见到式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积，可直接用公式拆分.【难度】较难类型三利用待定系数法解决多项式中不含某项问题【例题5】已知的积中不含的二次项，则的值是（　　）A.0　B.　C.　D.【答案】C【解析】试题分析：将多项式展开、合并，按的降幂排列，根据积中不含的二次项等价于项的系数为零列方程即可求得的值.试题解析：解：∵∵积中不含x的二次项，∴，解得.故选C.考点：多项式乘以多项式.点评：多项式不含某项则某项的系数为

7、零，根据这一条件列方程或方程组，从而求出待定系数的值.【难度】一般三、实战演练1.若多项式能被整除，则.【答案】【解析】试题分析：此题可通过因式分解得到：被除式=商×除式（余式为0），其除式为试题解析：解：设原式比较系数，得：由，解得，代入得考点：因式分解的应用点评：此题考查知识点是因式分解的应用，运用公式被除式=商×除式（余式为0）是解题关键.【难度】容易2.分解因式：【答案】=【解析】试题分析：这个多项式各项之间没有公因式也不符合乘法公式，又因为不是二次三项式所以不适用十字相乘法；虽多于三项，但分组之后分解不能继续.因此，我们应采用其他

8、的办法—待定系数法.这是一个四次五项式，首项系数为1，尾项也是1，所以它可以写成两个二次三项式的积，再利用恒等式的性质列方程组求解即可.试题解析：解：设=而∴解得或∴考点：待定系