第4讲合情推理与演绎推理第五讲数学归纳法

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1、第3讲　合情推理与演绎推理考点梳理1．归纳推理(1)定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性的推理．或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．(2)归纳推理的特点①归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理；②归纳推理的结论不一定为真；③归纳的个别情况越多，越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠．2．类比推理(1)定义：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征的推理，称为类比推理．类比推理是两类事物特征之间的推理．(2)类比推理的特点①类比推理是由

2、特殊到特殊的推理；②类比推理属于合情推理，其结论具有或然性，可能为真，也可能为假；③类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，类比得出的命题就越可靠．3．演绎推理(1)定义：演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．(2)演绎推理的特点①演绎推理是由一般到特殊的推理；②当前提为真时，结论必然为真．(3)演绎推理的主要形式是三段论，其一般模式为：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．【助学·微博】　一个命题解读本部分内容是新课标内容，高考考查的几率非常大．对归纳

3、推理与类比推理仍会以填空形式考查，主要是由个别情况归纳出一般结论，或运用类比的形式给出某个问题的结论．而演绎推理以解答题出现的可能性较大，因此要求学生具备一定的逻辑推理能力．两个防范(1)合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．(2)演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．考点自测1．(2012·盐城市第一学期摸底考试)在平面上，若两个正方形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4；类似地，在空间内，若两个正方体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析　由

4、正方体的体积之比等于棱长的立方之比可得．答案　1∶82．给出下列三个类比结论．①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中结论正确的序号是________．答案　③3．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝x是指数函数(小前提)，所以函数y＝x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于________错误导致结论错．解析　“指数函数y＝

5、ax是增函数”是本推理的大前提，它是错误的，因为实数a的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的．答案　大前提错4．(2010·陕西卷)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．　解析　13＋23＝32＝(1＋2)2,13＋23＋33＝62＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝102＝(1＋2＋3＋4)2，则13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2＝2，故第五个等式即为当n＝6时，13＋23＋33＋43＋53＋63＝2＝212.答案　13＋23＋33＋43＋53＋63＝2

6、125．(2011·盐城调研)观察下列几个三角恒等式：①tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1；②tan5°tan100°＋tan100°tan(－15°)＋tan(－15°)tan5°＝1；③tan13°tan35°＋tan35°tan42°＋tan42°tan13°＝1.一般地，若tanα，tanβ，tanγ都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为________．解析　由于三个等式中，角度之间满足10°＋20°＋60°＝90°，5°＋100°－15°＝90°，13°＋35°＋42°＝90°.于是通过类比可得．答案　

7、当α＋β＋γ＝90°时，tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝1考向一　归纳推理【例1】观察下列等式：可以推测：13＋23＋33＋…＋n3＝________(n∈N*，用含有n的代数式表示)．解析　第二列等式的右端分别是1×1,3×3,6×6,10×10,15×15，∵1,3,6,10,15，…第n项an，与第n－1项an－1(n≥2)的差为：an－an－1＝n，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n，各式相加得，an＝a1＋2＋3＋…＋n，其中a1＝1，∴an＝1＋2＋3＋…＋n，即an