圆切线证明方法

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1、圆的切线的证明方法  天津四中杨建成  平面内直线和圆存在着三种位置关系,即直线和圆相离、直线和圆相切、直线和圆相交,这三种位置关系中最重要的是直线和圆相切。那么怎样证明直线和圆相切呢?证明直线是圆的切线大体上有三种方法:  ⑴和圆只有一个公共点的直线是圆的切线;  ⑵到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;  ⑶经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。  其中⑴是切线的定义,它是从直线与圆的交点的角度来判断直线和圆的位置关系;⑵是从圆心到直线的距离d与圆的半径r的数量关系的角度来判断;⑶是根据切线的判定定理进行判断。⑵和⑶都是由⑴推演出来的。  在几何证明中,常用的是

2、最后一种方法,具体的证法有两种:①当直线与圆有一个公共点时,把圆心和这个公共点连结起来,证明直线垂直于这条半径,简称为“连半径,证垂直”;②当直线和圆的公共点没有明确时,可过圆心作直线的垂线,再证圆心到直线的距离等于半径,简称为“作垂直,证半径”。  例1.如图,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC平行于弦AD,求证CD是⊙O的切线。  [分析]:因直线CD与⊙O有公共点D,故应采用“连半径,证垂直”的方法。  [证明]:连结OD  ∵OC∥AD∴∠COB=∠DAO,∠COD=∠ADO  ∵OA=OD∴∠DAO=∠ADO  ∴∠COB=∠COD  在△DOC和

3、△BOC中  ∵OD=OB,∠COD=∠COB12  OC=OC  ∴△DOC≌△BOC  ∴∠CDO=∠CBO  ∵AB是⊙O的直径,BC是切线  ∴∠CBO=90°  ∴∠CDO=90°  ∵OD是⊙O的半径  ∴CD是⊙O的切线  例2.如图,已知两个同心圆O中,大圆的弦AB、CD相等,且AB与小圆相切于点E,求证:CD是小圆的切线。  [分析]:因直线CD与⊙O无公共点,故应采用“作垂直,证半径”的方法。  [证明]:连结OE,过O点作OF⊥CD于F  ∵AB与小圆相切于点E  ∴OE⊥AB∴AE=BE,CF=DF  ∵AB=CD∴AE=CF  在Rt△AEO和Rt△C

4、FO中  ∵OA=OC,AE=CF  ∴Rt△AEO≌Rt△CFO  ∴OE=OF  ∴CD是小圆的切线  例3.如图,已知在△ABC中,CD是AB上的高,且CD=1/2AB,E、F分别是AC、BC的中点,求证:以EF为直径的⊙O与AB相切。         [分析]:因直线AB与⊙O无公共点,故应采用“作垂直,证半径”的方法。  [证明]:过O点作OH⊥AB于H  ∵E、F分别为AC、BC的中点  ∴EF∥AB,且EF=1/2AB  ∴G点为CD的中点,OH=GD=1/2CD12  ∵CD=1/2AB∴EF=CD  ∴OH=1/2EF  ∴AB为⊙O的切线  例4.如图,已知

5、AB是⊙O的直径,线段AF与⊙O相切于点A,D是AF的中点,BF交⊙O于E点,过B点的切线与DE的延长线交于C点,求证:CD与⊙O相切。  [分析]:因直线CD与⊙O有公共点E,故应采用“连半径,证垂直”的方法。  [证法一]:如图4-1,连结OE、AE  ∵AB是⊙O的直径  ∴AE⊥BF  ∵D是AF的中点  ∴DA=DF=DE  ∴∠DEA=∠DAE  ∵OA=OE∴∠OAE=∠OEA  ∵AB是⊙O的直径,AF是⊙O的切线  ∴∠DAE+∠OAE=90°  ∴∠DEA+∠OEA=90°  ∵OE是⊙O的半径  ∴CD与⊙O相切于E  [证法二]:如图4-2,连结OE、A

6、E、OD  ∵AB是⊙O的直径  ∴AE⊥BF  ∵D是AF的中点  ∴DA=DE=1/2AF  在△OED和△OAD中  ∵DE=DA,OD=OD,OE=OA  ∴在△OED≌△OAD  ∴∠OED=∠OAD  ∵AB是⊙O的直径,AF是⊙O的切线∴∠OAD=90°12  ∴∠OED=90°  ∵OE是⊙O的半径  ∴CD与⊙O相切于E  [点评]:证法一是利用了等式的性质证明∠OED=∠OAD=90°,证法二是利用了全等三角形的对应角相等证明∠OED=∠OAD=90°  例5.如图,已知直角梯形ABCD中∠A=∠B=90°,AD∥BC,E为AB上一点,ED平分∠ADC,CE

7、平分∠BCD,试问⑴以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系?并证明。⑵以CD为直径的圆与AB又有怎样的位置关系?并证明。  [分析]:  ⑴取AB的中点E,过E点作EF⊥CD于F,如果EF=AE,那么以AB为直径的圆与边CD相切,这就是“作垂直,证半径”。  ⑵的证明方法是在⑴得到AE=BE的基础上,作梯形的中位线EG,即要证明EG为圆的半径又要证明EG⊥AB。  [证明]:⑴以AB为直径的圆与边CD相切。  如图5-1,过E点作EF⊥CD于F  ∵DE平分∠ADC,DA⊥AE,EF⊥CD

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