圆切线证明的方法

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1、切线证明法切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.切线的性质定理的推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。一、要证明某直线是圆的切线,如果已知直线过圆上的某一个点,那么作出过这一点的半径,证明直线垂直于半径.【例1】如图1,已知AB为⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C

2、在圆上,∠CAB=30º.求证:DC是⊙O的切线.思路:要想证明DC是⊙O的切线,只要我们连接OC,证明∠OCD=90º即可.图1OABCD证明:连接OC,BC.∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90º.∵∠CAB=30º,∴BC=AB=OB.∵BD=OB,∴BC=OD.∴∠OCD=90º.∴DC是⊙O的切线.【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论,特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可,否则就不是圆的切线.OABCD图22341【例2】如图2,已知AB为⊙O的直径,过点B作⊙

3、O的切线BC,连接OC,弦AD∥OC.求证:CD是⊙O的切线.思路:本题中既有圆的切线是已知条件,又证明另一条直线是圆的切线.也就是既要注意运用圆的切线的性质定理,又要运用圆的切线的判定定理.欲证明CD是⊙O的切线,只要证明∠ODC=90º即可.证明:连接OD.∵OC∥AD,∴∠1=∠3,∠2=∠4.∵OA=OD,∴∠1=∠2.∴∠3=∠4.又∵OB=OD,OC=OC,∴△OBC≌△ODC.∴∠OBC=∠ODC.∵BC是⊙O的切线,∴∠OBC=90º.∴∠ODC=90º.∴DC是⊙O的切线.【例3】如图2,已知A

4、B为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D.求证:AC平分∠DAB.图3OABCD231思路:利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径.证明:连接OC.∵CD是⊙O的切线,∴OC⊥CD.∵AD⊥CD,∴OC∥AD.∴∠1=∠2.∵OC=OA,∴∠1=∠3.∴∠2=∠3.∴AC平分∠DAB.【评析】已知一条直线是某圆的切线时,切线的位置一般是确定的.在解决有关圆的切线问题时,辅助线常常是连接圆心与切点,得到半径,那么半径垂直切线.  【例4】 如图1,B、C是⊙O上的点,线段AB

5、经过圆心O,连接AC、BC,过点C作CD⊥AB于D,∠ACD=2∠B.AC是⊙O的切线吗?为什么?  解:AC是⊙O的切线.  理由:连接OC,  ∵OC=OB,  ∴∠OCB=∠B.  ∵∠COD是△BOC的外角,  ∴∠COD=∠OCB+∠B=2∠B.  ∵∠ACD=2∠B,  ∴∠ACD=∠COD.  ∵CD⊥AB于D,  ∴∠DCO+∠COD=90°.  ∴∠DCO+∠ACD=90°.  即OC⊥AC.  ∵C为⊙O上的点,∴AC是⊙O的切线.【例5】如图2,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,

6、D是AB的延长线上的一点,AE⊥DC交DC的延长线于点E,且AC平分∠EAB.求证:DE是⊙O的切线.  证明:连接OC,则OA=OC, ∴∠CAO=∠ACO,  ∵AC平分∠EAB,  ∴∠EAC=∠CAO=∠ACO,  ∴AE∥CO,  又AE⊥DE,  ∴CO⊥DE,∴DE是⊙O的切线.二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段,证明此垂线段的长等于半径  【例6】 如图3,AB=AC,OB=OC,⊙O与AB边相切于点D.  证明:连接OD,作OE⊥AC,垂足为E.  ∵AB=AC,OB=OC

7、.∴AO为∠BAC角平分线,∠DAO=∠EAO∵⊙O与AB相切于点D,∴∠BDO=∠CEO=90°.∵AO=AO  ∴△ADO≌△AEO,所以OE=OD.  ∵OD是⊙O的半径,∴OE是⊙O的半径.  ∴⊙O与AC边相切.【例7】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于D,交AC于E,B为切点的切线交OD延长线于F.求证:EF与⊙O相切.证明:连结OE,AD.∵AB是⊙O的直径,∴AD⊥BC.又∵AB=BC,⌒⌒∴∠3=∠4.∴BD=DE,∠1=∠2.又∵OB=OE,OF=OF,∴△BOF≌△E

8、OF(SAS).∴∠OBF=∠OEF.∵BF与⊙O相切,∴OB⊥BF.∴∠OEF=900.∴EF与⊙O相切.说明:此题是通过证明三角形全等证明垂直的【例8】如图,AD是∠BAC的平分线,P为BC延长线上一点,且PA=PD.求证:PA与⊙O相切.证明一:作直径AE,连结EC.∵AD是∠BAC的平分线,∴∠DAB=∠DAC.∵PA=PD,∴∠2=∠1+∠DAC.∵∠2=∠B+

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