不等式应用最值问题

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1、不等式的应用最值问题教学目标1．深刻理解不等式中，两个或三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一定理，即平均值定理．2．熟练应用平均值定理，求某些问题的最值．3．培养学生严谨的思维品质，以及对数学思想方法的理解和运用，提高学生灵活运用所学知识解决问题的能力．教学重点与难点平均值定理适用的条件，及其变形使用．教学过程设计（一）不等式平均值定理的功能师：不等式平均值定理的内容是：若干个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．即：如果a1，a2，a3，…，an∈R+且n∈N+，n＞1，那么在高中阶段，我们只要

2、求同学掌握两个或三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．请同学用数学表达式表示上述定理．（教师板书）师：由两个不等式的结构来看，它们的功能是：从左往右可以把和的形式缩小为积的形式；从右往左可以把积的形式扩大为和的形式．为了使用方便，通常把不等式变形为用心爱心专心118号编辑-9-由于平均值定理在特殊形式下，可以进行放缩变换，因而它在数学中，可以作为用综合法证明不等式的依据，还可以作为求最值问题的工具．今天，我们主要研究应用平均值定理求最值的问题．（二）应用平均值定理求函数的最值例1 当0＜x＜2时，求函数

3、y=x（2-x）的最大值．师：函数y=x（2-x）是积的形式，求最大值实质是要做什么样的转化？生：可以使用平均值定理把积的形式转化成和的形式．师：平均值定理是对正数而言的，由于x，2-x都是正数，所以在什么条件下“≤”取“=”号？生：当且仅当x=2-x，即x=1时，取等号．此时，y的最大值为1．师：把积的形式化为和的形式，这个和应该为定值才行．从而求出最小值．（教师板书）用心爱心专心118号编辑-9-解：由x＞1，知x-1＞0．则中等号成立．所以当x=2时，y的最小值为6．师：运用平均值定理求函数的最值时，必

4、须要有和的定值或积的定值出现．即①，当且仅当a=b时．取“=”号．（定值）②，当且仅当a=b=c时，取“=”号．不等式①②可以在求函数的最大值时使用．③，当且仅当a=b时，取“=”号．值）④，当且仅当a=b=c时，取“=”号．不等式③，④可以在求函数的最小值时使用．例2 中对函数式的运算结构稍做变化，就可以使用定理了．例3 填空题：师：请同学来分析（1）．生甲：由于x＞0，则用心爱心专心118号编辑-9-生乙：我的做法与甲同学不一样．由于x＞0，则师：甲、乙两位同学对函数式的变形采取了不同的方法，但都得到了定

5、积，谁是谁非呢？师：分析的很好！在拆、凑函数式的时候，除了要考虑能否得到“定积”或“定和”以外，还要顾及使用平均值定理后，能否取“=”号．这一条件如果思维不严密，就会出现错误．由学生自己解（2）．（板书如下）y=x2·（5-2x）=x·x·（5-2x）如果学生的板书有漏洞或错误，教师可以边纠正，边总结应用平均值定理求函数最值的步骤．如果学生板书没有问题，教师可以请学生总结步骤．并进行适当的引导或补充．应用平均值定理求函数的最值，要注意的问题有：用心爱心专心118号编辑-9-（1）函数式中诸元素是否为正数；（2

6、）诸元素的和或积是否为定值；（3）判断“=”是否成立．（三）灵活运用平均值定理求最值师：此题为三角函数求最值的问题，应从何处入手？用平均值定理求最大值，但sinx+cos2x不是定值，因此，应从配、凑和为定值入手．师：函数式中涉及到正、余弦两种三角函数，可以利用同角的平方关系进行转化．（2sin2x+cos2x+cos2x）为定值；即可求出y2的最大值．师：对函数式的变形是灵活多样的，但宗旨都是使和或积为定值．例5 若正数x，y满足6x+5y=36，求xy的最大值．教师可以先让学生进行讨论，然后再请一位同学发

7、言．生：已知是两正数和的等式．要求两数积的最大值，可以由用心爱心专心118号编辑-9-（板书如下）解：由于x，y为正数，则6x，5y也是正数，所以当且仅当6x=5y时，取“=”号．师：函数式中含有根式，不容易看出定积是否存在，用什么方法解决这个问题？生：可以先用换元法把根式去掉，再把函数式进行转化．师：换元法是常用的数学思想方法，能帮助我们把复杂问题简单化．（四）不等式在应用问题中的应用例7 已知：长方体的全面积为定值S，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．师：经过审题可以看出

8、，长方体的全面积S是定值．因此最大值一定要用S来表示．首要问题是列出函数关系式．生：设长方体体积为y，其长、宽、高分别为a，b，c，则y=abc．由于a+b+c不是定值，所以肯定要对函数式进行变形．生：我受例4的启发，发现可以利用平均值定理先求出y2的最大值，这样y的最大值也就可以求出来了．解法如下：用心爱心专心118号编辑-9-解：设长方体的体积为y，长、宽、高分别是为a，b，c，则y=abc，2