函数及其图像

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1、函数及其图像【例题精选】：（一），图像及其性质例1如图1-9-1所示等腰梯形ABCD，AB‖CD∠C=∠D=60°，AD=AB=2求：（1）梯形各顶点坐标。（2）B点关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标。解：（1）在Rt△AOD中，∠AOD=90°∠D=60°AD=2，∴点D坐标（0，1），点A坐标（，0）∵AB=2,AB⊥x轴，∴点B坐标（，2），根据等腰梯形的对称性，∴点C坐标为（0，3）（2）点B关于x轴的对称点坐标为（，－2），关于y轴对称的点坐标为（-，2），关于原点对称的点的坐标为（-，-2）。例2：求下列各函数中自变量的取值范围。分析：用解析式表示的函数关

2、系，要使解析式有意义的自变量的取值范围可分为整式，自变量可以取任意实数；解析式是分式，自变量的取值应使分母不等于零；解析式如果是二次根式，自变量的取值应使被开方式的值大于等于零；如果是三次根式，自变量可以取任意实数，如果解析式是以上几种形式综合而成的，自变量的取值要同时满足这些条件。解：（1）∵是整式函数∴取值范围是任意实数。（2）x应满足即∴x的取值范围是x0且x≠5的任意实数。∴x的取值范围是（4）x应满足∴x的取值范围是(5)x应满足∴x的取值范围是(6)x应满足∴x的取值范围是例3：等腰三角形ABC的周长为10cm，底边BC为ycm，腰AB的长为xcm，（1）

3、写出y关于x的函数的解析式；（2）求x的取值范围；（3）求y的取值范围。解：依题意所求函数解析式为。（2）∵x、y均为线段，∴,即：∴x的取值范围为的任意实数，（3）y的取值范围为小结：求自变量取值范围应使实际问题才有意义，要把所有有影响的条件都考虑到，如例3就要考虑成为三角形两边之和大于第三边。例4：离山脚30米处向上铺台阶，每上4级台阶升高1米，（1）求离山脚高度h与台阶数n之间的函数关系式；（2）已知山脚至山顶高为217米，求自变量n的取值范围。解：（1）依题意：（n是非负整数）（2）∴n的取值范围是的非负整数。注意：这里n是台阶数，取值范围应为非负整数。例5：

4、已知一次函数满足下列条件，分别求出字母p、q的取值范围。（1）y随x值的增大而增大。（2）函数图像与y轴交点在x轴上方。（3）函数图像不经过第一象限分析：根据一次函数性质或图像在平面直角坐标系中的位置，决定中k、b的符号，借助不等式的知识，使问题得以解决。解：（1），∴当时，y随x值的增大而增大。（2）函数图像与y轴交点在x轴上方。∴∴当，图像与y轴交点在x轴上方。（3）∵图像不经过第一象限∴∴当，图像不经过第一象限。例6：已知二次函数（1）用配方法化为的形式（2）求它的顶点坐标和对称轴方程。（3）根据图像指出，当x取何值时，y随x值的增大而减小。（4）当x取何值时，

5、y有最大（小）值，值是多少？（5）求抛物线和x轴的交点坐标、和y轴的交点坐标。（6）根据图像指出，当x取何值时。解：（1）。（2）顶点坐标为（－4，1），对称轴方程x=—4。（3）抛物线如图1-9-2所示，当x>－4时，y随x值的增大而减小。（4）当x=－4时，y有最大值，最大值是1。（5）令y=0，令x=0，得y=－3，∴抛物线与x轴的交点坐标为（－2，0），（－6，0），与y轴交点坐标为（0，－3）。（6）观察图像可知，小结：考察函数性质，很重要的方法是通过图像观察，因此，认真、准确地画好图像，对解题有很大的帮助，有的时候，还可以通过图像讨论系数的各种不同的取值

6、，使字母系数图像特征，函数性质不断地互相转化，给解题带来便利，例7：已知函数问：（1）抛物线的对称轴在y轴的左侧还是右侧；（2）抛物线和x轴有无交点，如果有，写出交点坐标；（3）抛物线和y轴的交点在x轴的上方还是下方?解：（1）∵∴抛物线的对称轴在y轴的左侧。（2）∴∴抛物线与x轴有两个不同的交点，坐标为。（3）∵c<0抛物线与y轴的交点坐标（0,C）∴抛物线与y轴交点在x轴下方。（二）待定系数法例8：y1是x轴的正比例函数,y2是关于x的一次函数，已知当x=1时，它们的函数值互为相反数，当x=－1时，它们的函数值的和为4，当时，它们的函数值相等，求他们的函数解析式，

7、并画出它们的图像。分析：根据正比例函数和一次函数的意义可以设y1=kx,y2=mx+n(k≠0,m≠0)，再根据所给的条件求出待定的系数k、m、n，这种求函数解析式的方法称之为待定系数法，但应注意，在同一个问题中，设解析工时不要使用相同的待定系数，用待定系数法确定函数解析式，要根据所给条件，有几个待定系数要建立几个关于待定系数的方程。解：设正比例函数依题意，当时，得。①当时，得②当③解由①②③式组成的方程组，得∴正比例函数的解析式为x一次函数的解析式为例9：已知反比例函数与一次函数的图像都通过（－3，1）点，且在时，这两个函数的函数值相等，求出这两个