数学 几何论证题中辅助线的添加方法

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1、中考数学复习专题——几何论证题中辅助线的添加方法例1：如图：等腰梯形ADBC中AB∥CD，底角∠ABC=450对角线AC、BD交于点O，且∠BOC=1200求：的值分析：在已知条件中，底角∠ABC=450，有的同学想到延长两腰，出现一个等腰直角三角形。而在本题中这样添辅助线，反而增加解题困难，因为∠BOC=1200的条件不能很好的运用。故本题添辅助线时，应考虑过上底顶点D（或A）作对角线的平行线，把梯形问题转化为平行四边形及顶角为1200的等腰三角形问题，而解等腰三角形时，常添的辅助线是作底上的高，这样不难求的比值。证明：过D点作DF∥AC交BC的延长线于F，作

2、DE⊥BC于EAD∥BCAD=CFAC∥DFAC=DF等腰梯形ABCDDB=ACBD=DFAC∥DF∠BDF=∠BOC=1200DE⊥BF∠BDE=600BE=EFBE=EF=∠BED=900设DE⊥BC∠BCD=450EF=.例2：如图：已知直线PQ是线段AB的中垂线，C是OQ上的任意一点，若OD⊥BC5是于D，M是OD的中点求证：CM⊥AD分析：在已知条件中，PQ是线段AB的中垂线，同学们肯定想到连结AC运用线段中垂线性质，但证明此题这样的添线与其它已知条件的应用没有多大关系，这种添线不能解答本题，而图中出现“母子三角形”，使我们想到能否运用三角形相似及线段

3、成比例来解本题。而要证CM⊥AD，从图中观察到如能证得∠1=∠A ，那么CM⊥AD即可成立；而∠A 除了在Rt△AON中，它还在△AOD中，若把∠1也放到与△AOD相似的三角形中，结论就可成立。因此构筑一个与△AOD相似的三角形是本题解答的关键。而已知条件M是OD的中点，想到增添中点（或添平行线）的方法，故取OC的中点为G，想法证明△AOD∽△CGM。通过基本图形分析，发现∠2=∠3，故∠AOD=∠CGM。因此证：是本题又一关键。证明：取OC的中点为G，连GM,∵PQ是AB的中垂线,∴∠BOC=900设OA=OB=a，OD=b.∵OD⊥BC,∴∠CDO=∠ODB

4、=900∵∠4+∠3=900，∠3+∠B=900.∴∠4=∠B，△COD∽△OBD.∴，G、M为OC、OD的中点.∴OC=2CG，CD=2GM..∴，△AOD∽△CGM.∴∠1=∠A.∵∠A+∠ANO=900∴∠1+∠CNH=900即∠NHC=900，CM⊥AD.例3：如图：正方形ABCD中，E、F分别AB、BC的中点，AF和DE交于点P5求证：CP=CD图（1）图（2）分析：要证明CP=CD，因为CP、CD在同一三角形中，一般三种思路可证：思路（1）：只要证对角相等，即证∠1=∠2。如图（1）分别寻找∠1、∠2的等量，∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠2=∠

5、AEP，∠1=？，延长CP交AB于G，∴∠1=∠EPG。要证∠1、∠2只要证∠AEP=EPG，由已知可知，E、F为AB、BC的中点可证：△AED≌△BFA，可得AF⊥DE，P为垂足。假设∠AEP=∠EPG，G可能为AE的中点，因此证PG为AE的中线是本思路证题的关键。本题出现“母子”三角形基本图形故不难，推得，设PE为a，PA为2a，PD为4a，因为AE∥CD，可推得PE:PD=EG:CD=1:4。由此可证得G为AE的中点，PG是AE的中线，∠AEP=∠EPG成立。从分析的过程中得到思路（2），思路（3）：要证CP=CD，只要证：C在线段PD的中垂线上，取AD的

6、中点，连CH、PH，证：四边形AFCH为平行四边形，由思路（1）可知，AF⊥DE，故CH⊥DE，再证：CH平分PD，通过Rt△APO易证CH平分PD。证明方法（1）：∵E、F为AB、BC的中点，ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠DAE，BF=AE∴△ADE≌△BAF，∴∠ADE=∠EAP∵∠EAP+∠DAP=900，∴∠ADE+∠DAP=900，∴∠APD=∠APE=900，∵∠ADE=∠EAP，∴△APE∽△DPA，∴∴，AB∥CD∴1:2，∴G为AE的中点，PG=EG∵∠GEP=∠GPE，∵∠GPE=∠1，∠GEP=∠2∴∠1=∠2，CP=CD证明方法

7、（2）（如图2）：取AD的中点为H，连CH、PH..5∵ABCD是正方形，∴BC∥AD，BC=AD，F、H为BC 、AD的中点，∴CF∥AH，CF=AH，∴AFCH为平行四边形.∴CH∥AF，由证明方法（1）可知AP⊥DE，故CH⊥P.在Rt△APO中，PH为斜边中线，∴，∴CH垂直平分PD，∴CP=CD.例4：⊙O1与⊙O2相交于点A，P是O1O2的中点（1）如图（1）如果AC切⊙O2于点A，交⊙O1于点C，D是AC的中点求证：PA=PD（2）如图（2）如果过点A作两圆的一条割线交⊙O1于点C，交⊙O2于点B，点D是BC的中点，那么PA与PD是否相等？如果相等

8、，请给出证明；如果不相等