资源描述：
《几何题中添加辅助线的作用.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、浅谈几何解题中添加辅助线的作用胡晓潘集区实验中学辅助线的添加是几何解题的关键和难点，进行几何解题时，准确的添加辅助线可以使问题迎刃而解，现把几何解题中添加辅助线的作用归纳如下。一、揭示图形中隐含的性质当条件与结论间的逻辑关系不明朗时，通过适当添加辅助线，将条件中隐含的有关图像性质充分显示出来，从而扩大已知条件，以便取得有关过渡性的推论，达到推导出结论的目的。例证：如图1，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，M、N分别是DE、BC的中点，求证：MN⊥DE分析：本题利用添置的两条辅助线EN、
2、DN把题中隐含的直角三角形斜边上中线的性质转化为直接条件EN=DN=BC证明：分别连接EN、DN（作图）∵N是BC的中点，CE⊥AB,DB⊥AC（已知）∴EN是Rt△BEC斜边上的中线DN是Rt△CDB斜边上的中线∴EN=BC（直角三角形斜边上中线的性质）DN=BC（直角三角形斜边上中线的性质）∴EN=DN（等量代换）又∵M是ED的中点，（已知）∴MN⊥DE（等腰三角形三线合一性质）图1二、聚拢集中原则通过添置适当的辅助线，将图形中分散、远离的元素，通过变换和转化，使它们相对集中，聚拢到有关图形上来，
3、使题设条件与结论建立逻辑联系，从而导出要求的结论。例证：已知在四边形ABCD中，AB=CD,点F和E分别为AD、BC边上的中点，延长BA、CD，分别交EF的延长线于P、Q,求证：∠APF=∠DQF分析:本题中的条件与结论中的有关元素位置比较分散，通过平行移动，可使有关元素集中在一起，方便解题。如图2，将AB、CD分别平移到FG、FH,由△BEG≌△CEH可可求EF是等腰三角形FGH底边上的中线，再由∠GFE=∠HFE推出∠APF=∠DQF。证明：如图，过点F作FG∥AB,FH∥DC,过点B点C分别作B
4、G∥AD,CH∥AD,交FG、FH于G、H点，连接GE、HE。∵FG∥ABBG∥ADCH∥ADFH∥DC,∴四边形ABGF和四边形FHCD都是平行四边形∴AB=FGAF=BGFD=CHFH=CD图2又∵F和E分别为AD、BC的中点，AB=CD∴AF=FDBE=CEFG=FH∴BG=CH∵BG∥AD,CH∥AD∴BG∥HC∴∠GBE=∠HCE∴△BEG≌△CEH(SAS)∴GE=HE∴△FGE≌△FHE(SSS)∴∠GFE=∠HFE又∵FG∥AB,FH∥DC∴∠GFE=∠APF∠Q=∠HFE∴∠APF=
5、∠DQF由以上例子可以看出，通过平移，能使分散的已知元素和未知元素得以集中，从而便于解题。三、发挥特殊点的作用在题设条件所给的图形中，对尙未直接显示出来的各元素，通过添置辅助线，将那些特殊点、特殊线、特殊图形的性质恰当地揭示出来，并充分发挥这些特殊点线的作用，达到化难为易、导出结论的目的。例：如图3，两圆⊙1⊙2相交于A和B两点，经过交点B的任一直线和两圆分别相交于C、D两点，求证：AC：AD为定值。分析：本题通过物色特殊点去求得AC：AD为定值。即过点B作EF⊥BA分别交两圆于E、F点，此时有AE:
6、AF=d1：d2（d1、d2分别是两圆的直径），故只需证AC:AD=d1：d2即可。证明：如图4，延长A⊙1，A⊙2分别交⊙1⊙2于E、F点，连接BE、BF则∠ABE＋∠ABF=1800∴E、B、F三点共线O2∵∠ACD=∠AEF∠ADC=∠AEF∴△ACD∽△AEF∴AC：AD=AE:AF=d1：d2(定值)图3（d1、d2分别是两圆的直径）四、构造图形的作用对一类几何证明题，常需要用到某种图形，而这种图形在题设条件所给定的图形中却没有出现，必须添置这些图形，才能导出结论。例如:如图4，点D为△AB
7、C的底边BC延长线上一点，直线DF交AB于F点，交AC于E点，且∠FEA=∠AFE,求证：.分析：横看比例式，BD、BF与CD、CE虽然分别在△DBF与△DCE上，但这两个三角形并不相似。竖看这个比例式，BD、BF与CD、CE都不是某两个三角形上的边，因此必须寻找别的出路，考虑到BD、BC在同一直线BD上，所以不妨通过添置平行线为辅助线，构造新的三角形相似（或应用平行线截割定理）进行论证。如过点C作CG∥AB,交FD于G点则△DCG∽△DBF,因而得到,易证CE=CG,所以可得.证明：如图4，过点C作
8、CG∥AB,交FD于G点∵CG∥AB∴△DCG∽△DBF∠AFE=∠CGE∴,图4又∵∠FEA=∠AFE∠FEA=∠CEG∴∠CEG=∠CGE∴CE=CG∴.当然，在几何解题中添加辅助线除了能起到揭示图形中隐含的性质，使图像中分散远离的元素聚拢集中，发挥特殊点线的作用外，还能起到化繁为简，化难为易的目的。仅从以上例证就足以证明添加辅助线在几何解题中的重要作用了。
