第一章 函数及极限习题详解

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时间:2018-10-13

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1、第一章函数与极限习题详解第一章函数与极限习题1-11.求下列函数的自然定义域:(1);解:依题意有,则函数定义域.(2);解:依题意有,则函数定义域.(3);解:依题意有,则函数定义域.(4);解:依题意有,则函数定义域.(5)解:依题意有定义域.(6).解:依题意有,则函数定义域.2.已知定义域为,求()的定义域.解:因为定义域为,所以当时,得函数的定义域为;当时,得函数定义域为;当时,得函数定义域为;当时,得函数定义域为:(1)若,;(2)若,;(3)若,.3.设其中求函数值.解:因为,则,.26第

2、一章函数与极限习题详解4.设,求与,并做出函数图形.解:,即,,即,函数图形略.5.设试证:证明:,即,得证.6.下列各组函数中,与是否是同一函数?为什么?(1);不是,因为定义域和对应法则都不相同.(2);是.(3);不是,因为对应法则不同.(4);不是,因为定义域不同.7.确定下列函数在给定区间内的单调性:(1),;解:当时,函数单调递增,也是单调递增,则在内也是递增的.(2),.解:,当时,函数单调递增,则是单调递减的,故原函数是单调递减的.8.判定下列函数的奇偶性.(1);解:因为,所以是奇函数

3、.(2);解:因为,所以是偶函数.(3);解:因为,,所以既非奇函数,又非偶函数.26第一章函数与极限习题详解(4).解:因为,所以函数是偶函数.9.设是定义在上的任意函数,证明:(1)是偶函数,是奇函数;(2)可表示成偶函数与奇函数之和的形式.证明:(1)令,则,所以是偶函数,是奇函数.(2)任意函数,由(1)可知是偶函数,是奇函数,所以命题得证.10.证明:函数在区间上有界的充分与必要条件是:函数在上既有上界又有下界.证明:(必要性)若函数在区间上有界,则存在正数,使得,都有成立,显然,即证得函数在

4、区间上既有上界又有下界(充分性)设函数在区间上既有上界,又有下界,即有,取,则有,即函数在区间上有界.11.下列函数是否是周期函数?对于周期函数指出其周期:(1);周期函数,周期为.(2);周期函数,周期为2.(3);不是周期函数.(4).周期函数,周期为.12.求下列函数的反函数:(1); 解:依题意,,则,所以反函数为.(2);解:依题意,,则反函数.(3);解:依题意,,所以反函数.(4).26第一章函数与极限习题详解解:依题意,,所以反函数.13.在下列各题中,求由所给函数构成的复合函数,并求这

5、函数分别对应于给定自变量值和的函数值:(1);(2).解:(1)(2),,.14.在一圆柱形容器内倒进某种溶液,该容器的底半径为,高为.当倒进溶液后液面的高度为时,溶液的体积为.试把表示为的函数,并指出其定义区间.解:依题意有,则.15.某城市的行政管理部门,在保证居民正常用水需要的前提下,为了节约用水,制定了如下收费方法:每户居民每月用水量不超过4.5吨时,水费按0.64元/吨计算.超过部分每吨以5倍价格收费.试建立每月用水费用与用水数量之间的函数关系.并计算用水量分别为3.5吨、4.5吨、5.5吨的

6、用水费用.解:依题意有,所以.习题1-21.设,(1)求的值;(2)求,使当时,不等式成立;(3)求,使当时,不等式成立.解:(1).(2)要使即,则只要取N=故当n>1110时,不等式成立.(3)要使成立,取,那么当时,成立.2.根据数列极限的定义证明:(1);      (2).26第一章函数与极限习题详解解:(1),要使,只要取,所以,对任意,存在,当时,总有,则.(2),要使,即,只要取,所以,对任意的>0,存在,当,总有,则.3.若证明.并举例说明:如果数列有极限,但数列未必有极限.证明:因为

7、,所以,,当时,有.不妨假设a>0,由收敛数列的保号性可知:,当时,有,取,则对,,当时,有.故.同理可证时,成立.反之,如果数列有极限,但数列未必有极限.如:数列,,显然,但不存在.4.设数列有界,又.证明:.证明:依题意,存在M>0,对一切n都有,又,对,存在,当时,,因为对上述,当时,,由的任意性,则.5.设数列的一般项,求.解:因为,,所以.6.对于数列,若,,证明:.证明:由于,所以,,,当时,有,同理,,,当时,有.取=max,,当时,成立,故.习题1-31.当时,.问等于多少,使当时,?解

8、:令,则,要使,只要,所以取,使当时,成立.2.当时,.问等于多少,使当时,?解:要使<0.001,只要,即26第一章函数与极限习题详解.因此,只要就可以了,所以取.3.根据函数极限的定义证明:(1);     (2);(3);    (4).证明:(1)由于,任给,要使,只要.因此取,则当时,总有,故.(2)由于,任给,要使,只要,即或,因为,所以,取,则当时,对,总有,故有.(3)由于,任给,,要使,只要,因此取,则当时,总有,故.(4

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