第4章 命题及证明

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1、第4章命题与证明本章是实验几何过渡到论证几何的启蒙章节。我们应该认识到学习欧几里得几何对锻炼和培养学生的逻辑推理能力，有着其他内容无法代替的作用；然而几何入门难的问题多年来一直存在。对于几何的处理，本套教科书根据《数学课程标准》的要求，提供了一个全新的思路。从七年级上册“图形的初步知识”一章的实验入门，到七年级下册“三角形的初步知识”“图形和变换”的实验为主，开始出现局部推理，到八年级上册“平行线”“特殊三角形”的实验，开始向推理过渡，再到本章开始有固定格式的论证几何，因为有了一年半几何感性认识的

2、基础，初步的识图能力，简单的推理能力，再学习高层次的论证几何，自然就有了一定的准备和基础。本章内容处于“实验几何”与“论证几何”的交接点上，它对学生顺利地转入论证几何的学习，有着重要的思维润滑作用。能有效地帮助学生认识到学习论证几何的必要性，继而为下阶段的学习铺平了道路。学生在认识几何证明的必要性方面是本节教学的第一个难点与重点。学生已有一年半的实验几何的学习基础，固然对后阶段的学习有很重要的奠基作用，但也有一定的负迁移作用。学生已经习惯于从“量一量”“算一算”及图形运动变换中直接得出图形性质，并

3、有了一定的初级、简单推理时充当理由的使用历史，即基本默认了这些性质。因此，使学生充分认识到几何证明的必要性便成为本章的一个难点。掌握证明的一般步骤与格式是本章教学的第二个重点与难点。本章教学时间约需10课时，具体安排如下：4.1定义与命题2课时4.2证明3课时4.3反例与证明1课时4.4反证法1课时复习评价2课时，机动1课时合计10课时4一、教科书内容和课程教学目标1、本章知识结构框架图如下：2、本章的教学目标如下：了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件（题设）和结论。会在简单情况下判断一个

4、命题的真假。理解反例的作用，知道利用反例可证明一个命题是错误的。了解证明的含义，理解证明的必要性，体会证明的过程要步步有据。会根据一些基本事实证明简单命题。通过实例，体会反证法的含义。了解反证法的基本步骤。初步会综合运用命题、证明以及相关知识解决简单的实际问题。二、本章编写特点1、教材内容生活化且富有情趣，加强与生活和学生的经验以及现代社会和科技发展的联系，知识由此变得鲜活起来，让学生有亲近感。如在反证法一节中，用《路边苦李》的故事引入课题，让学生体会反证法就在生活中，数学就在生活中。又课本在定义

5、与命题这节中所选择的素材和问题有来自生活的、自然学科的、社会的及其数学自身的，将数学与自然科学，社会科学有机整合。2、《数学课程标准》指出：“证明的教学所关注的是对证明必要性的理解，……”教材不仅提供了为数不少的引起视觉错误的图形，还结合阅读材料“费马和他的猜想”，从不同角度让学生体会到证明的必要性。在如何让学生理解证明的必要性方面可谓颇费心机。3、重视反例的构建。传统教材只在命题的真假教学时中提到“反例”。而本套教材不惜重墨，单独编写一节“反例与证明”4。这是为了在中学数学教学中有意识地使用反例

6、，并加强对反例构建方法的指导，这对学生创新思维的发展是大有裨益的。三、教学建议1、本章是学生系统学习论证几何的起步阶段。推理形式从归纳推理为主体，转变为演绎推理为主体，逻辑性加强，推理表达要求严格规范是本章的特点。教学中应精心设计使学生从直观几何到论证几何，从归纳推理到演绎推理的过渡阶梯。要重视范例的分析过程教学，使学生逐步学会逆思维的方法。初学论证几何，无论是分析证明思路，还是写证明过程，学生都会感到困难，应多作示范。2、在讲解命题的概念时，应通过生活和数学的实例来说明什么是命题；能够区分一个简

7、单命题的真伪。教师可通过生活、代数、几何中的具体例子使学生认识到，有些命题可以通过观察和实验得到，并获得大家的认可，但也有些命题仅仅通过观察和实验是不够的，从而体会证明的必要性。3、用反证法证题时，由于要假设待证明的命题的结论不成立，就需考虑结论的反面可能出现的各种情况。如果结论的反面只有一种情况，那么只需否定这种情况；如果结论的反面不止一种情况，那么必须把各种情况全部列举出来，并加以否定，才能肯定原命题的正确。但课本中没有出现这类问题，教学时不必补充。教学中可以通过生活实际和简单的数学例子，使学

8、生体会反证法的思想，但在义务教育阶段不必给出反证法的证明格式。4、举反例和证明同样重要，注重反例教学以培养学生思维的缜密性、灵活性，以及注重反例构建培养学生思维的发散性、深刻性和创新性在数学教学中的重要性已越来越被人们重视和认可。反例构建还是诱发学生创造力的很好载体。教师在进行教学时，不但要适当地使用反例，更重要的是要善于引导学生构建反例，这实际上是为学生创设了一种探索情境。因此，构建反例的过程也是学生发散思维的充分发挥和训练过程。5、关于设计题。本章的设计题——“费马点”4向学