高中数学开放题赏析(二)

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1、高中数学开放题赏析（二）题目4：某选择题已知条件缺漏，原题为：已知α、β均为锐角，且sinα－sinβ=－，_______，则tg（α－β）的值为（）A、B、C、－D、－其中为缺少部分，试根据所附答案为（C），推断并补足所缺的条件。分析：根据所附答案知tg（α－β）=－，解得tg，或tg，由已知sinα－sinβ＝－即，若，则得，即cosα+cosβ=－，此与α、β均为锐角矛盾。若，则得即cosα+cosβ=，这一结果与另一已知条件sinα－sinβ=－在形式上了比较接近。故所缺失的条件可能为cosα+cosβ=。评析：此类题可模仿分析法的解题

2、方法，将结果加入条件，逆推导出需要寻求的条件，但一般情况下答案不惟一。方法探索性开放型问题这是一类条件、结论都不明确的问题，使得解题方法是开放的，需要探索出合适的解题方法，又需要进行严格的推理论证。题目5：已知f（θ）=sin2θ+sin2（θ+α）+sin2（θ+β），其中α、β适合0≤α＜β≤π的常数，试问α、β取何值时，f（θ）的值恒为定值。（日本御茶水女子大学入学试题）分析一：要使f（θ）的值不随θ的变化而变化，即函数f（θ）为常值函数，则可赋予特殊的自变量值探求。解一：令θ=0，得f（0）=sin2α+sin2β依题意可设f（0）==

3、=m，（m为常数），则由f（0）+=2m，解得m=。再代入f（0）===解得。分析二：要使f（θ）的值不随θ变化而变化，可以通过分离主变量的方法，视主变量的系数为零，这样就可以把问题转化。解二：==∵f（θ）恒为定值，即f（θ）的值与θ无关。∴1+2cos（α+β）cos（α－β）=0sin（α+β）cos（α－β）=0∴sin（α+β）=0考虑到0≤α＜β≤π，有0＜α+β＜2π，∴α+β=π①∴cos（α－β）=∵－π≤α－β＜0，∴α－β=－　②①、②联立可得：。题目6：某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划

4、第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元.（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）；(3)使用若干年后，对机床的处理方案有两种：(i)当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；(ii)当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由.讲解：本例兼顾应用性和开放性,是实际工作中经常遇到的问题.（1）=.（2）解不等式＞0,得＜x＜.∵

5、　x∈N，　∴　3≤x≤17.故从第3年工厂开始盈利.（3）(i)∵　≤40当且仅当时，即x=7时，等号成立.∴　到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30=114万元.(ii)　　y=-2x2+40x-98=-2（x-10）2+102，当x=10时，ymax=102.故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元.解答函数型最优化实际应用题，二、三元均值不等式是常用的工具.——节选自《高中数学开放题赏析》来源：http://www.tyzx.com.cn